Calcolo Esempi

$x - 2 y = - 5$ , $x^{2} + y^{2} = 25$

Passaggio 1

Risolvi tramite sostituzione per trovare l'intersezione tra le curve.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Somma $2 y$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 5 + 2 y$

$x^{2} + y^{2} = 25$

Passaggio 1.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $x$ con $- 5 + 2 y$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $x$ in $x^{2} + y^{2} = 25$ con $- 5 + 2 y$ .

${(- 5 + 2 y)}^{2} + y^{2} = 25$

$x = - 5 + 2 y$

Passaggio 1.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Semplifica ${(- 5 + 2 y)}^{2} + y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1.1.1

Riscrivi ${(- 5 + 2 y)}^{2}$ come $(- 5 + 2 y) (- 5 + 2 y)$ .

$(- 5 + 2 y) (- 5 + 2 y) + y^{2} = 25$

$x = - 5 + 2 y$

Passaggio 1.2.2.1.1.2

Espandi $(- 5 + 2 y) (- 5 + 2 y)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$- 5 (- 5 + 2 y) + 2 y (- 5 + 2 y) + y^{2} = 25$

$x = - 5 + 2 y$

Passaggio 1.2.2.1.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$- 5 \cdot - 5 - 5 (2 y) + 2 y (- 5 + 2 y) + y^{2} = 25$

$x = - 5 + 2 y$

Passaggio 1.2.2.1.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$- 5 \cdot - 5 - 5 (2 y) + 2 y \cdot - 5 + 2 y (2 y) + y^{2} = 25$

$x = - 5 + 2 y$

$- 5 \cdot - 5 - 5 (2 y) + 2 y \cdot - 5 + 2 y (2 y) + y^{2} = 25$

$x = - 5 + 2 y$

Passaggio 1.2.2.1.1.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1.1.3.1.1

Moltiplica $- 5$ per $- 5$ .

$25 - 5 (2 y) + 2 y \cdot - 5 + 2 y (2 y) + y^{2} = 25$

$x = - 5 + 2 y$

Passaggio 1.2.2.1.1.3.1.2

Moltiplica $2$ per $- 5$ .

$25 - 10 y + 2 y \cdot - 5 + 2 y (2 y) + y^{2} = 25$

$x = - 5 + 2 y$

Passaggio 1.2.2.1.1.3.1.3

Moltiplica $- 5$ per $2$ .

$25 - 10 y - 10 y + 2 y (2 y) + y^{2} = 25$

$x = - 5 + 2 y$

Passaggio 1.2.2.1.1.3.1.4

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$25 - 10 y - 10 y + 2 \cdot (2 y \cdot y) + y^{2} = 25$

$x = - 5 + 2 y$

Passaggio 1.2.2.1.1.3.1.5

Moltiplica $y$ per $y$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1.1.3.1.5.1

Sposta $y$ .

$25 - 10 y - 10 y + 2 \cdot (2 (y \cdot y)) + y^{2} = 25$

$x = - 5 + 2 y$

Passaggio 1.2.2.1.1.3.1.5.2

Moltiplica $y$ per $y$ .

$25 - 10 y - 10 y + 2 \cdot (2 y^{2}) + y^{2} = 25$

$x = - 5 + 2 y$

$25 - 10 y - 10 y + 2 \cdot (2 y^{2}) + y^{2} = 25$

$x = - 5 + 2 y$

Passaggio 1.2.2.1.1.3.1.6

Moltiplica $2$ per $2$ .

$25 - 10 y - 10 y + 4 y^{2} + y^{2} = 25$

$x = - 5 + 2 y$

$25 - 10 y - 10 y + 4 y^{2} + y^{2} = 25$

$x = - 5 + 2 y$

Passaggio 1.2.2.1.1.3.2

Sottrai $10 y$ da $- 10 y$ .

$25 - 20 y + 4 y^{2} + y^{2} = 25$

$x = - 5 + 2 y$

$25 - 20 y + 4 y^{2} + y^{2} = 25$

$x = - 5 + 2 y$

$25 - 20 y + 4 y^{2} + y^{2} = 25$

$x = - 5 + 2 y$

Passaggio 1.2.2.1.2

Somma $4 y^{2}$ e $y^{2}$ .

$25 - 20 y + 5 y^{2} = 25$

$x = - 5 + 2 y$

$25 - 20 y + 5 y^{2} = 25$

$x = - 5 + 2 y$

$25 - 20 y + 5 y^{2} = 25$

$x = - 5 + 2 y$

$25 - 20 y + 5 y^{2} = 25$

$x = - 5 + 2 y$

Passaggio 1.3

Risolvi per $y$ in $25 - 20 y + 5 y^{2} = 25$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Sottrai $25$ da entrambi i lati dell'equazione.

$25 - 20 y + 5 y^{2} - 25 = 0$

$x = - 5 + 2 y$

Passaggio 1.3.2

Combina i termini opposti in $25 - 20 y + 5 y^{2} - 25$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Sottrai $25$ da $25$ .

$- 20 y + 5 y^{2} + 0 = 0$

$x = - 5 + 2 y$

Passaggio 1.3.2.2

Somma $- 20 y + 5 y^{2}$ e $0$ .

$- 20 y + 5 y^{2} = 0$

$x = - 5 + 2 y$

$- 20 y + 5 y^{2} = 0$

$x = - 5 + 2 y$

Passaggio 1.3.3

Scomponi $- 5 y$ da $- 20 y + 5 y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1

Riordina $- 20 y$ e $5 y^{2}$ .

$5 y^{2} - 20 y = 0$

$x = - 5 + 2 y$

Passaggio 1.3.3.2

Scomponi $- 5 y$ da $5 y^{2}$ .

$- 5 y (- y) - 20 y = 0$

$x = - 5 + 2 y$

Passaggio 1.3.3.3

Scomponi $- 5 y$ da $- 20 y$ .

$- 5 y (- y) - 5 y \cdot 4 = 0$

$x = - 5 + 2 y$

Passaggio 1.3.3.4

Scomponi $- 5 y$ da $- 5 y (- y) - 5 y (4)$ .

$- 5 y (- y + 4) = 0$

$x = - 5 + 2 y$

$- 5 y (- y + 4) = 0$

$x = - 5 + 2 y$

Passaggio 1.3.4

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$y = 0$

$- y + 4 = 0$

$x = - 5 + 2 y$

Passaggio 1.3.5

Imposta $y$ uguale a $0$ .

$y = 0$

$x = - 5 + 2 y$

Passaggio 1.3.6

Imposta $- y + 4$ uguale a $0$ e risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.6.1

Imposta $- y + 4$ uguale a $0$ .

$- y + 4 = 0$

$x = - 5 + 2 y$

Passaggio 1.3.6.2

Risolvi $- y + 4 = 0$ per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.6.2.1

Sottrai $4$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- y = - 4$

$x = - 5 + 2 y$

Passaggio 1.3.6.2.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- y = - 4$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.6.2.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- y = - 4$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

$x = - 5 + 2 y$

Passaggio 1.3.6.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.6.2.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{y}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

$x = - 5 + 2 y$

Passaggio 1.3.6.2.2.2.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{- 4}{- 1}$

$x = - 5 + 2 y$

$y = \frac{- 4}{- 1}$

$x = - 5 + 2 y$

Passaggio 1.3.6.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.6.2.2.3.1

Dividi $- 4$ per $- 1$ .

$y = 4$

$x = - 5 + 2 y$

$y = 4$

$x = - 5 + 2 y$

$y = 4$

$x = - 5 + 2 y$

$y = 4$

$x = - 5 + 2 y$

$y = 4$

$x = - 5 + 2 y$

Passaggio 1.3.7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $- 5 y (- y + 4) = 0$ vera.

$y = 0, 4$

$x = - 5 + 2 y$

$y = 0, 4$

$x = - 5 + 2 y$

Passaggio 1.4

Sostituisci tutte le occorrenze di $y$ con $0$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $y$ in $x = - 5 + 2 y$ con $0$ .

$x = - 5 + 2 (0)$

$y = 0$

Passaggio 1.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.1

Semplifica $- 5 + 2 (0)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.1.1

Moltiplica $2$ per $0$ .

$x = - 5 + 0$

$y = 0$

Passaggio 1.4.2.1.2

Somma $- 5$ e $0$ .

$x = - 5$

$y = 0$

$x = - 5$

$y = 0$

$x = - 5$

$y = 0$

$x = - 5$

$y = 0$

Passaggio 1.5

Sostituisci tutte le occorrenze di $y$ con $4$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $y$ in $x = - 5 + 2 y$ con $4$ .

$x = - 5 + 2 (4)$

$y = 4$

Passaggio 1.5.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.1

Semplifica $- 5 + 2 (4)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.1.1

Moltiplica $2$ per $4$ .

$x = - 5 + 8$

$y = 4$

Passaggio 1.5.2.1.2

Somma $- 5$ e $8$ .

$x = 3$

$y = 4$

$x = 3$

$y = 4$

$x = 3$

$y = 4$

$x = 3$

$y = 4$

Passaggio 1.6

La soluzione del sistema è l'insieme completo di coppie ordinate che sono soluzioni valide.

$(- 5, 0)$

$(3, 4)$

$(- 5, 0)$

$(3, 4)$

Passaggio 2

Somma $2 y$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 5 + 2 y$

Passaggio 3

Risolvi $x^{2} + y^{2} = 25$ in termini di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sottrai $y^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} = 25 - y^{2}$

Passaggio 3.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{25 - y^{2}}$

Passaggio 3.3

Semplifica $\pm \sqrt{25 - y^{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Riscrivi $25$ come $5^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{5^{2} - y^{2}}$

Passaggio 3.3.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 5$ e $b = y$ .

$x = \pm \sqrt{(5 + y) (5 - y)}$

Passaggio 3.4

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = \sqrt{(5 + y) (5 - y)}$

Passaggio 3.4.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - \sqrt{(5 + y) (5 - y)}$

Passaggio 3.4.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = \sqrt{(5 + y) (5 - y)}$

$x = - \sqrt{(5 + y) (5 - y)}$

$x = \sqrt{(5 + y) (5 - y)}$

$x = - \sqrt{(5 + y) (5 - y)}$

$x = \sqrt{(5 + y) (5 - y)}$

$x = - \sqrt{(5 + y) (5 - y)}$

Passaggio 4

L'area della regione tra le curve è definita come l'integrale della curva superiore meno l'integrale della curva inferiore rispetto a ciascuna regione. Le regioni sono determinate dai punti di intersezione delle curve. Questa operazione si può svolgere algebricamente o graficamente.

$A r e a = \int_{0}^{4} \sqrt{(5 + y) (5 - y)} d y - \int_{0}^{4} - 5 + 2 y d y$

Passaggio 5

Integra per trovare l'area tra $0$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Combina gli interi in un singolo intero.

$\int_{0}^{4} \sqrt{(5 + y) (5 - y)} - (- 5 + 2 y) d y$

Passaggio 5.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\sqrt{(5 + y) (5 - y)} - - 5 - (2 y)$

Passaggio 5.2.2

Moltiplica $- 1$ per $- 5$ .

$\sqrt{(5 + y) (5 - y)} + 5 - (2 y)$

Passaggio 5.2.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\sqrt{(5 + y) (5 - y)} + 5 - 2 y$

$\int_{0}^{4} \sqrt{(5 + y) (5 - y)} + 5 - 2 y d y$

Passaggio 5.3

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int_{0}^{4} \sqrt{(5 + y) (5 - y)} d y + \int_{0}^{4} 5 d y + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

Passaggio 5.4

Completa il quadrato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1.1

Espandi $(5 + y) (5 - y)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$5 (5 - y) + y (5 - y)$

Passaggio 5.4.1.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$5 \cdot 5 + 5 (- y) + y (5 - y)$

Passaggio 5.4.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$5 \cdot 5 + 5 (- y) + y \cdot 5 + y (- y)$

Passaggio 5.4.1.2

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1.2.1.1

Moltiplica $5$ per $5$ .

$25 + 5 (- y) + y \cdot 5 + y (- y)$

Passaggio 5.4.1.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$25 - 5 y + y \cdot 5 + y (- y)$

Passaggio 5.4.1.2.1.3

Sposta $5$ alla sinistra di $y$ .

$25 - 5 y + 5 \cdot y + y (- y)$

Passaggio 5.4.1.2.1.4

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$25 - 5 y + 5 y - y \cdot y$

Passaggio 5.4.1.2.1.5

Moltiplica $y$ per $y$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1.2.1.5.1

Sposta $y$ .

$25 - 5 y + 5 y - (y \cdot y)$

Passaggio 5.4.1.2.1.5.2

Moltiplica $y$ per $y$ .

$25 - 5 y + 5 y - y^{2}$

Passaggio 5.4.1.2.2

Somma $- 5 y$ e $5 y$ .

$25 + 0 - y^{2}$

Passaggio 5.4.1.2.3

Somma $25$ e $0$ .

$25 - y^{2}$

Passaggio 5.4.1.3

Riordina $25$ e $- y^{2}$ .

$- y^{2} + 25$

Passaggio 5.4.2

Utilizza la forma $a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di $a$ , $b$ e $c$ .

$a = - 1$

$b = 0$

$c = 25$

Passaggio 5.4.3

Considera la forma del vertice di una parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 5.4.4

Trova il valore di $d$ usando la formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.4.1

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{0}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 5.4.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.4.2.1

Elimina il fattore comune di $0$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.4.2.1.1

Scomponi $2$ da $0$ .

$d = \frac{2 (0)}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 5.4.4.2.1.2

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{0}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 0$

Passaggio 5.4.4.2.2

Riscrivi $- 1 \cdot 0$ come $- 0$ .

$d = - 0$

Passaggio 5.4.4.2.3

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$d = 0$

Passaggio 5.4.5

Trova il valore di $e$ usando la formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.5.1

Sostituisci i valori di $c$ , $b$ e $a$ nella formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 25 - \frac{0^{2}}{4 \cdot - 1}$

Passaggio 5.4.5.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.5.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$e = 25 - \frac{0}{4 \cdot - 1}$

Passaggio 5.4.5.2.1.2

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$e = 25 - \frac{0}{- 4}$

Passaggio 5.4.5.2.1.3

Dividi $0$ per $- 4$ .

$e = 25 - 0$

Passaggio 5.4.5.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$e = 25 + 0$

Passaggio 5.4.5.2.2

Somma $25$ e $0$ .

$e = 25$

Passaggio 5.4.6

Sostituisci i valori di $a$ , $d$ e $e$ nella forma del vertice di $- {(y + 0)}^{2} + 25$ .

$\int_{0}^{4} \sqrt{- {(y + 0)}^{2} + 25} d y + \int_{0}^{4} 5 d y + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

Passaggio 5.5

Sia $u_{1} = y + 0$ . Allora $d u_{1} = d y$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Sia $u_{1} = y + 0$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1.1

Differenzia $y + 0$ .

$\frac{d}{d y} [y + 0]$

Passaggio 5.5.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $y + 0$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [0]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [0]$

Passaggio 5.5.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [0]$

Passaggio 5.5.1.4

Poiché $0$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $0$ rispetto a $y$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 5.5.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 5.5.2

Sostituisci $y$ con il limite inferiore in $u_{1} = y + 0$ .

$u_{lower} = 0 + 0$

Passaggio 5.5.3

Somma $0$ e $0$ .

$u_{lower} = 0$

Passaggio 5.5.4

Sostituisci $y$ con il limite superiore in $u_{1} = y + 0$ .

$u_{upper} = 4 + 0$

Passaggio 5.5.5

Somma $4$ e $0$ .

$u_{upper} = 4$

Passaggio 5.5.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 4$

Passaggio 5.5.7

Riscrivi il problema utilizzando $u_{1}$ , $d u_{1}$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{0}^{4} \sqrt{- {u_{1}}^{2} + 25} d u_{1} + \int_{0}^{4} 5 d y + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

Passaggio 5.6

Sia $u_{1} = 5 \sin (t)$ , dove $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Allora $d u_{1} = 5 \cos (t) d t$ . Si noti che, poiché $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $5 \cos (t)$ è positivo.

$\int_{0}^{0.92729521} \sqrt{- {(5 \sin (t))}^{2} + 25} (5 \cos (t)) d t + \int_{0}^{4} 5 d y + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

Passaggio 5.7

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.1

Semplifica $\sqrt{- {(5 \sin (t))}^{2} + 25}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $5 \sin (t)$ .

$\int_{0}^{0.92729521} \sqrt{- (5^{2} \sin^{2} (t)) + 25} (5 \cos (t)) d t + \int_{0}^{4} 5 d y + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

Passaggio 5.7.1.1.2

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$\int_{0}^{0.92729521} \sqrt{- (25 \sin^{2} (t)) + 25} (5 \cos (t)) d t + \int_{0}^{4} 5 d y + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

Passaggio 5.7.1.1.3

Moltiplica $25$ per $- 1$ .

$\int_{0}^{0.92729521} \sqrt{- 25 \sin^{2} (t) + 25} (5 \cos (t)) d t + \int_{0}^{4} 5 d y + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

Passaggio 5.7.1.2

Riordina $- 25 \sin^{2} (t)$ e $25$ .

$\int_{0}^{0.92729521} \sqrt{25 - 25 \sin^{2} (t)} (5 \cos (t)) d t + \int_{0}^{4} 5 d y + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

Passaggio 5.7.1.3

Scomponi $25$ da $25$ .

$\int_{0}^{0.92729521} \sqrt{25 (1) - 25 \sin^{2} (t)} (5 \cos (t)) d t + \int_{0}^{4} 5 d y + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

Passaggio 5.7.1.4

Scomponi $25$ da $- 25 \sin^{2} (t)$ .

$\int_{0}^{0.92729521} \sqrt{25 (1) + 25 (- \sin^{2} (t))} (5 \cos (t)) d t + \int_{0}^{4} 5 d y + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

Passaggio 5.7.1.5

Scomponi $25$ da $25 (1) + 25 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int_{0}^{0.92729521} \sqrt{25 (1 - \sin^{2} (t))} (5 \cos (t)) d t + \int_{0}^{4} 5 d y + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

Passaggio 5.7.1.6

Applica l'identità pitagorica.

$\int_{0}^{0.92729521} \sqrt{25 \cos^{2} (t)} (5 \cos (t)) d t + \int_{0}^{4} 5 d y + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

Passaggio 5.7.1.7

Riscrivi $25 \cos^{2} (t)$ come ${(5 \cos (t))}^{2}$ .

$\int_{0}^{0.92729521} \sqrt{{(5 \cos (t))}^{2}} (5 \cos (t)) d t + \int_{0}^{4} 5 d y + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

Passaggio 5.7.1.8

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\int_{0}^{0.92729521} 5 \cos (t) (5 \cos (t)) d t + \int_{0}^{4} 5 d y + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

Passaggio 5.7.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.2.1

Moltiplica $5$ per $5$ .

$\int_{0}^{0.92729521} 25 \cos (t) \cos (t) d t + \int_{0}^{4} 5 d y + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

Passaggio 5.7.2.2

Eleva $\cos (t)$ alla potenza di $1$ .

$\int_{0}^{0.92729521} 25 (\cos^{1} (t) \cos (t)) d t + \int_{0}^{4} 5 d y + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

Passaggio 5.7.2.3

Eleva $\cos (t)$ alla potenza di $1$ .

$\int_{0}^{0.92729521} 25 (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)) d t + \int_{0}^{4} 5 d y + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

Passaggio 5.7.2.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int_{0}^{0.92729521} 25 {\cos (t)}^{1 + 1} d t + \int_{0}^{4} 5 d y + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

Passaggio 5.7.2.5

Somma $1$ e $1$ .

$\int_{0}^{0.92729521} 25 \cos^{2} (t) d t + \int_{0}^{4} 5 d y + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

Passaggio 5.8

Poiché $25$ è costante rispetto a $t$ , sposta $25$ fuori dall'integrale.

$25 \int_{0}^{0.92729521} \cos^{2} (t) d t + \int_{0}^{4} 5 d y + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

Passaggio 5.9

Utilizza la formula di bisezione per riscrivere $\cos^{2} (t)$ come $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ .

$25 \int_{0}^{0.92729521} \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t + \int_{0}^{4} 5 d y + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

Passaggio 5.10

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $t$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$25 (\frac{1}{2} \int_{0}^{0.92729521} 1 + \cos (2 t) d t) + \int_{0}^{4} 5 d y + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

Passaggio 5.11

$\frac{1}{2}$ e $25$ .

$\frac{25}{2} \int_{0}^{0.92729521} 1 + \cos (2 t) d t + \int_{0}^{4} 5 d y + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

Passaggio 5.12

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\frac{25}{2} (\int_{0}^{0.92729521} d t + \int_{0}^{0.92729521} \cos (2 t) d t) + \int_{0}^{4} 5 d y + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

Passaggio 5.13

Applica la regola costante.

$\frac{25}{2} (t]_{0}^{0.92729521} + \int_{0}^{0.92729521} \cos (2 t) d t) + \int_{0}^{4} 5 d y + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

Passaggio 5.14

Sia $u_{2} = 2 t$ . Allora $d u_{2} = 2 d t$ , quindi $\frac{1}{2} d u_{2} = d t$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.14.1

Sia $u_{2} = 2 t$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d t}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.14.1.1

Differenzia $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Passaggio 5.14.1.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $2 t$ rispetto a $t$ è $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 5.14.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Passaggio 5.14.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2$

Passaggio 5.14.2

Sostituisci $t$ con il limite inferiore in $u_{2} = 2 t$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Passaggio 5.14.3

Moltiplica $2$ per $0$ .

$u_{lower} = 0$

Passaggio 5.14.4

Sostituisci $t$ con il limite superiore in $u_{2} = 2 t$ .

$u_{upper} = 2 \cdot 0.92729521$

Passaggio 5.14.5

Moltiplica $2$ per $0.92729521$ .

$u_{upper} = 1.85459043$

Passaggio 5.14.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1.85459043$

Passaggio 5.14.7

Riscrivi il problema utilizzando $u_{2}$ , $d u_{2}$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\frac{25}{2} (t]_{0}^{0.92729521} + \int_{0}^{1.85459043} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2}) + \int_{0}^{4} 5 d y + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

Passaggio 5.15

$\cos (u_{2})$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{25}{2} (t]_{0}^{0.92729521} + \int_{0}^{1.85459043} \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2}) + \int_{0}^{4} 5 d y + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

Passaggio 5.16

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{25}{2} (t]_{0}^{0.92729521} + \frac{1}{2} \int_{0}^{1.85459043} \cos (u_{2}) d u_{2}) + \int_{0}^{4} 5 d y + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

Passaggio 5.17

L'integrale di $\cos (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $\sin (u_{2})$ .

$\frac{25}{2} (t]_{0}^{0.92729521} + \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{0}^{1.85459043}) + \int_{0}^{4} 5 d y + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

Passaggio 5.18

Applica la regola costante.

$\frac{25}{2} (t]_{0}^{0.92729521} + \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{0}^{1.85459043}) + 5 y]_{0}^{4} + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

Passaggio 5.19

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $y$ , sposta $- 2$ fuori dall'integrale.

$\frac{25}{2} (t]_{0}^{0.92729521} + \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{0}^{1.85459043}) + 5 y]_{0}^{4} - 2 \int_{0}^{4} y d y$

Passaggio 5.20

Secondo la regola di potenza, l'intero di $y$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{25}{2} (t]_{0}^{0.92729521} + \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{0}^{1.85459043}) + 5 y]_{0}^{4} - 2 (\frac{1}{2} y^{2}]_{0}^{4})$

Passaggio 5.21

$\frac{1}{2}$ e $y^{2}$ .

$\frac{25}{2} (t]_{0}^{0.92729521} + \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{0}^{1.85459043}) + 5 y]_{0}^{4} - 2 (\frac{y^{2}}{2}]_{0}^{4})$

Passaggio 5.22

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.22.1

Calcola $t$ per $0.92729521$ e per $0$ .

$\frac{25}{2} ((0.92729521) + 0 + \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{0}^{1.85459043}) + 5 y]_{0}^{4} - 2 (\frac{y^{2}}{2}]_{0}^{4})$

Passaggio 5.22.2

Calcola $\sin (u_{2})$ per $1.85459043$ e per $0$ .

$\frac{25}{2} ((0.92729521) + 0 + \frac{1}{2} ((\sin (1.85459043)) - \sin (0))) + 5 y]_{0}^{4} - 2 (\frac{y^{2}}{2}]_{0}^{4})$

Passaggio 5.22.3

Calcola $5 y$ per $4$ e per $0$ .

$\frac{25}{2} ((0.92729521) + 0 + \frac{1}{2} ((\sin (1.85459043)) - \sin (0))) + (5 \cdot 4) - 5 \cdot 0 - 2 (\frac{y^{2}}{2}]_{0}^{4})$

Passaggio 5.22.4

Calcola $\frac{y^{2}}{2}$ per $4$ e per $0$ .

$\frac{25}{2} ((0.92729521) + 0 + \frac{1}{2} ((\sin (1.85459043)) - \sin (0))) + (5 \cdot 4) - 5 \cdot 0 - 2 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Passaggio 5.22.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.22.5.1

Somma $0.92729521$ e $0$ .

$\frac{25}{2} (0.92729521 + \frac{1}{2} ((\sin (1.85459043)) - \sin (0))) + (5 \cdot 4) - 5 \cdot 0 - 2 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Passaggio 5.22.5.2

Moltiplica $5$ per $4$ .

$\frac{25}{2} (0.92729521 + \frac{1}{2} (\sin (1.85459043) - \sin (0))) + 20 - 5 \cdot 0 - 2 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Passaggio 5.22.5.3

Moltiplica $- 5$ per $0$ .

$\frac{25}{2} (0.92729521 + \frac{1}{2} (\sin (1.85459043) - \sin (0))) + 20 + 0 - 2 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Passaggio 5.22.5.4

Somma $20$ e $0$ .

$\frac{25}{2} (0.92729521 + \frac{1}{2} (\sin (1.85459043) - \sin (0))) + 20 - 2 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Passaggio 5.22.5.5

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$\frac{25}{2} (0.92729521 + \frac{1}{2} (\sin (1.85459043) - \sin (0))) + 20 - 2 (\frac{16}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Passaggio 5.22.5.6

Elimina il fattore comune di $16$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.22.5.6.1

Scomponi $2$ da $16$ .

$\frac{25}{2} (0.92729521 + \frac{1}{2} (\sin (1.85459043) - \sin (0))) + 20 - 2 (\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Passaggio 5.22.5.6.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.22.5.6.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{25}{2} (0.92729521 + \frac{1}{2} (\sin (1.85459043) - \sin (0))) + 20 - 2 (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2})$

Passaggio 5.22.5.6.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{25}{2} (0.92729521 + \frac{1}{2} (\sin (1.85459043) - \sin (0))) + 20 - 2 (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2})$

Passaggio 5.22.5.6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{25}{2} (0.92729521 + \frac{1}{2} (\sin (1.85459043) - \sin (0))) + 20 - 2 (\frac{8}{1} - \frac{0^{2}}{2})$

Passaggio 5.22.5.6.2.4

Dividi $8$ per $1$ .

$\frac{25}{2} (0.92729521 + \frac{1}{2} (\sin (1.85459043) - \sin (0))) + 20 - 2 (8 - \frac{0^{2}}{2})$

Passaggio 5.22.5.7

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{25}{2} (0.92729521 + \frac{1}{2} (\sin (1.85459043) - \sin (0))) + 20 - 2 (8 - \frac{0}{2})$

Passaggio 5.22.5.8

Elimina il fattore comune di $0$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.22.5.8.1

Scomponi $2$ da $0$ .

$\frac{25}{2} (0.92729521 + \frac{1}{2} (\sin (1.85459043) - \sin (0))) + 20 - 2 (8 - \frac{2 (0)}{2})$

Passaggio 5.22.5.8.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.22.5.8.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{25}{2} (0.92729521 + \frac{1}{2} (\sin (1.85459043) - \sin (0))) + 20 - 2 (8 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Passaggio 5.22.5.8.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{25}{2} (0.92729521 + \frac{1}{2} (\sin (1.85459043) - \sin (0))) + 20 - 2 (8 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Passaggio 5.22.5.8.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{25}{2} (0.92729521 + \frac{1}{2} (\sin (1.85459043) - \sin (0))) + 20 - 2 (8 - \frac{0}{1})$

Passaggio 5.22.5.8.2.4

Dividi $0$ per $1$ .

$\frac{25}{2} (0.92729521 + \frac{1}{2} (\sin (1.85459043) - \sin (0))) + 20 - 2 (8 - 0)$

Passaggio 5.22.5.9

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$\frac{25}{2} (0.92729521 + \frac{1}{2} (\sin (1.85459043) - \sin (0))) + 20 - 2 (8 + 0)$

Passaggio 5.22.5.10

Somma $8$ e $0$ .

$\frac{25}{2} (0.92729521 + \frac{1}{2} (\sin (1.85459043) - \sin (0))) + 20 - 2 \cdot 8$

Passaggio 5.22.5.11

Moltiplica $- 2$ per $8$ .

$\frac{25}{2} (0.92729521 + \frac{1}{2} (\sin (1.85459043) - \sin (0))) + 20 - 16$

Passaggio 5.22.5.12

Sottrai $16$ da $20$ .

$\frac{25}{2} (0.92729521 + \frac{1}{2} (\sin (1.85459043) - \sin (0))) + 4$

Passaggio 5.23

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.23.1

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$\frac{25}{2} (0.92729521 + \frac{1}{2} (\sin (1.85459043) - 0)) + 4$

Passaggio 5.23.2

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$\frac{25}{2} (0.92729521 + \frac{1}{2} (\sin (1.85459043) + 0)) + 4$

Passaggio 5.23.3

Somma $\sin (1.85459043)$ e $0$ .

$\frac{25}{2} (0.92729521 + \frac{1}{2} \sin (1.85459043)) + 4$

Passaggio 5.23.4

$\frac{1}{2}$ e $\sin (1.85459043)$ .

$\frac{25}{2} (0.92729521 + \frac{\sin (1.85459043)}{2}) + 4$

Passaggio 5.23.5

Somma $0.92729521$ e $\frac{\sin (1.85459043)}{2}$ .

$\frac{25}{2} \cdot 1.40729521 + 4$

Passaggio 5.23.6

$\frac{25}{2}$ e $1.40729521$ .

$\frac{25 \cdot 1.40729521}{2} + 4$

Passaggio 5.23.7

Moltiplica $25$ per $1.40729521$ .

$\frac{35.18238045}{2} + 4$

Passaggio 5.23.8

Per scrivere $4$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{35.18238045}{2} + 4 \cdot \frac{2}{2}$

Passaggio 5.23.9

$4$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{35.18238045}{2} + \frac{4 \cdot 2}{2}$

Passaggio 5.23.10

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{35.18238045 + 4 \cdot 2}{2}$

Passaggio 5.23.11

Moltiplica $4$ per $2$ .

$\frac{35.18238045 + 8}{2}$

Passaggio 5.23.12

Somma $35.18238045$ e $8$ .

$\frac{43.18238045}{2}$

Passaggio 5.24

Dividi $43.18238045$ per $2$ .

$21.59119022$

Passaggio 6