Calcolo Esempi

$y = e^{0.4 x}$ , $y = 5 + x^{2}$ , $x = 2$ , $x = 3$

Passaggio 1

Risolvi tramite sostituzione per trovare l'intersezione tra le curve.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Elimina i lati uguali di ciascuna equazione e combinale.

$e^{0.4 x} = 5 + x^{2}$

Passaggio 1.2

Rappresenta graficamente ogni lato dell'equazione. La soluzione è il valore x del punto di intersezione.

$x \approx 12.83601099 + y = 5 + x^{2}$

Passaggio 1.3

Risolvi $y$ quando $x = 12.83601099$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Sostituisci $x$ per $12.83601099$ .

$y = 5 + {(12.83601099)}^{2}$

Passaggio 1.3.2

Sostituisci $12.83601099$ per $x$ in $y = 5 + {(12.83601099)}^{2}$ e risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Rimuovi le parentesi.

$y = 5 + {12.83601099}^{2}$

Passaggio 1.3.2.2

Rimuovi le parentesi.

$y = 5 + {(12.83601099)}^{2}$

Passaggio 1.3.2.3

Semplifica $5 + {(12.83601099)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.3.1

Eleva $12.83601099$ alla potenza di $2$ .

$y = 5 + 164.76317813$

Passaggio 1.3.2.3.2

Somma $5$ e $164.76317813$ .

$y = 169.76317813$

Passaggio 1.4

La soluzione del sistema è l'insieme completo di coppie ordinate che sono soluzioni valide.

$(12.83601099, 169.76317813)$

Passaggio 2

Riordina $5$ e $x^{2}$ .

$y = x^{2} + 5$

Passaggio 3

L'area della regione tra le curve è definita come l'integrale della curva superiore meno l'integrale della curva inferiore rispetto a ciascuna regione. Le regioni sono determinate dai punti di intersezione delle curve. Questa operazione si può svolgere algebricamente o graficamente.

$A r e a = \int_{2}^{3} x^{2} + 5 d x - \int_{2}^{3} e^{0.4 x} d x$

Passaggio 4

Integra per trovare l'area tra $2$ e $3$ .

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Passaggio 4.1

Combina gli interi in un singolo intero.

$\int_{2}^{3} x^{2} + 5 - (e^{0.4 x}) d x$

Passaggio 4.2

Moltiplica $- 1$ per $e^{0.4 x}$ .

$\int_{2}^{3} x^{2} + 5 - e^{0.4 x} d x$

Passaggio 4.3

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int_{2}^{3} x^{2} d x + \int_{2}^{3} 5 d x + \int_{2}^{3} - e^{0.4 x} d x$

Passaggio 4.4

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{2}^{3} + \int_{2}^{3} 5 d x + \int_{2}^{3} - e^{0.4 x} d x$

Passaggio 4.5

Applica la regola costante.

$\frac{1}{3} x^{3}]_{2}^{3} + 5 x]_{2}^{3} + \int_{2}^{3} - e^{0.4 x} d x$

Passaggio 4.6

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{3} x^{3}]_{2}^{3} + 5 x]_{2}^{3} - \int_{2}^{3} e^{0.4 x} d x$

Passaggio 4.7

Sia $u = 0.4 x$ . Allora $d u = 0.4 d x$ , quindi $\frac{1}{0.4} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 4.7.1

Sia $u = 0.4 x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 4.7.1.1

Differenzia $0.4 x$ .

$\frac{d}{d x} [0.4 x]$

Passaggio 4.7.1.2

Poiché $0.4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $0.4 x$ rispetto a $x$ è $0.4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0.4 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.7.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$0.4 \cdot 1$

Passaggio 4.7.1.4

Moltiplica $0.4$ per $1$ .

$0.4$

Passaggio 4.7.2

Sostituisci $x$ con il limite inferiore in $u = 0.4 x$ .

$u_{lower} = 0.4 \cdot 2$

Passaggio 4.7.3

Moltiplica $0.4$ per $2$ .

$u_{lower} = 0.8$

Passaggio 4.7.4

Sostituisci $x$ con il limite superiore in $u = 0.4 x$ .

$u_{upper} = 0.4 \cdot 3$

Passaggio 4.7.5

Moltiplica $0.4$ per $3$ .

$u_{upper} = 1.2$

Passaggio 4.7.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 0.8$

$u_{upper} = 1.2$

Passaggio 4.7.7

Riscrivi il problema utilizzando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\frac{1}{3} x^{3}]_{2}^{3} + 5 x]_{2}^{3} - \int_{0.8}^{1.2} e^{u} \frac{1}{0.4} d u$

Passaggio 4.8

$e^{u}$ e $\frac{1}{0.4}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{2}^{3} + 5 x]_{2}^{3} - \int_{0.8}^{1.2} \frac{e^{u}}{0.4} d u$

Passaggio 4.9

Poiché $\frac{1}{0.4}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{0.4}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{3} x^{3}]_{2}^{3} + 5 x]_{2}^{3} - (\frac{1}{0.4} \int_{0.8}^{1.2} e^{u} d u)$

Passaggio 4.10

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{2}^{3} + 5 x]_{2}^{3} - \frac{1}{0.4} e^{u}]_{0.8}^{1.2}$

Passaggio 4.11

$\frac{1}{3} x^{3}]_{2}^{3}$ e $5 x]_{2}^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + 5 x]_{2}^{3} - \frac{1}{0.4} e^{u}]_{0.8}^{1.2}$

Passaggio 4.12

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 4.12.1

Calcola $\frac{1}{3} x^{3} + 5 x$ per $3$ e per $2$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 3^{3} + 5 \cdot 3) - (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 5 \cdot 2) - \frac{1}{0.4} e^{u}]_{0.8}^{1.2}$

Passaggio 4.12.2

Calcola $e^{u}$ per $1.2$ e per $0.8$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 3^{3} + 5 \cdot 3) - (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 5 \cdot 2) - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

Passaggio 4.12.3

Semplifica.

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Passaggio 4.12.3.1

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot 27 + 5 \cdot 3 - (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 5 \cdot 2) - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

Passaggio 4.12.3.2

$\frac{1}{3}$ e $27$ .

$\frac{27}{3} + 5 \cdot 3 - (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 5 \cdot 2) - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

Passaggio 4.12.3.3

Elimina il fattore comune di $27$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.12.3.3.1

Scomponi $3$ da $27$ .

$\frac{3 \cdot 9}{3} + 5 \cdot 3 - (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 5 \cdot 2) - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

Passaggio 4.12.3.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.12.3.3.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} + 5 \cdot 3 - (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 5 \cdot 2) - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

Passaggio 4.12.3.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} + 5 \cdot 3 - (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 5 \cdot 2) - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

Passaggio 4.12.3.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{9}{1} + 5 \cdot 3 - (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 5 \cdot 2) - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

Passaggio 4.12.3.3.2.4

Dividi $9$ per $1$ .

$9 + 5 \cdot 3 - (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 5 \cdot 2) - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

Passaggio 4.12.3.4

Moltiplica $5$ per $3$ .

$9 + 15 - (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 5 \cdot 2) - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

Passaggio 4.12.3.5

Somma $9$ e $15$ .

$24 - (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 5 \cdot 2) - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

Passaggio 4.12.3.6

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$24 - (\frac{1}{3} \cdot 8 + 5 \cdot 2) - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

Passaggio 4.12.3.7

$\frac{1}{3}$ e $8$ .

$24 - (\frac{8}{3} + 5 \cdot 2) - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

Passaggio 4.12.3.8

Moltiplica $5$ per $2$ .

$24 - (\frac{8}{3} + 10) - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

Passaggio 4.12.3.9

Per scrivere $10$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$24 - (\frac{8}{3} + 10 \cdot \frac{3}{3}) - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

Passaggio 4.12.3.10

$10$ e $\frac{3}{3}$ .

$24 - (\frac{8}{3} + \frac{10 \cdot 3}{3}) - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

Passaggio 4.12.3.11

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$24 - \frac{8 + 10 \cdot 3}{3} - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

Passaggio 4.12.3.12

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.12.3.12.1

Moltiplica $10$ per $3$ .

$24 - \frac{8 + 30}{3} - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

Passaggio 4.12.3.12.2

Somma $8$ e $30$ .

$24 - \frac{38}{3} - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

Passaggio 4.12.3.13

Per scrivere $24$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$24 \cdot \frac{3}{3} - \frac{38}{3} - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

Passaggio 4.12.3.14

$24$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{24 \cdot 3}{3} - \frac{38}{3} - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

Passaggio 4.12.3.15

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{24 \cdot 3 - 38}{3} - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

Passaggio 4.12.3.16

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.12.3.16.1

Moltiplica $24$ per $3$ .

$\frac{72 - 38}{3} - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

Passaggio 4.12.3.16.2

Sottrai $38$ da $72$ .

$\frac{34}{3} - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

Passaggio 4.12.3.17

Per scrivere $- \frac{1}{0.4} (e^{1.2} - e^{0.8})$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{34}{3} - \frac{1}{0.4} (e^{1.2} - e^{0.8}) \cdot \frac{3}{3}$

Passaggio 4.12.3.18

$- \frac{1}{0.4} (e^{1.2} - e^{0.8})$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{34}{3} + \frac{- \frac{1}{0.4} (e^{1.2} - e^{0.8}) \cdot 3}{3}$

Passaggio 4.12.3.19

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{34 - \frac{1}{0.4} (e^{1.2} - e^{0.8}) \cdot 3}{3}$

Passaggio 4.12.3.20

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$\frac{34 - 3 (\frac{1}{0.4}) (e^{1.2} - e^{0.8})}{3}$

Passaggio 4.12.3.21

$- 3$ e $\frac{1}{0.4}$ .

$\frac{34 + \frac{- 3}{0.4} (e^{1.2} - e^{0.8})}{3}$

Passaggio 4.12.3.22

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{34 - \frac{3}{0.4} (e^{1.2} - e^{0.8})}{3}$

Passaggio 4.13

Semplifica.

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Passaggio 4.13.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.13.1.1

Dividi $3$ per $0.4$ .

$\frac{34 - 1 \cdot 7.5 (e^{1.2} - e^{0.8})}{3}$

Passaggio 4.13.1.2

Moltiplica $- 1$ per $7.5$ .

$\frac{34 - 7.5 (e^{1.2} - e^{0.8})}{3}$

Passaggio 4.13.1.3

Moltiplica $- 7.5$ per $e^{1.2} - e^{0.8}$ .

$\frac{34 - 8.20931995}{3}$

Passaggio 4.13.1.4

Sottrai $8.20931995$ da $34$ .

$\frac{25.79068004}{3}$

Passaggio 4.13.2

Dividi $25.79068004$ per $3$ .

$8.59689334$

Passaggio 5