Calcolo Esempi

$y = x^{2}$ , $y = \sqrt[3]{x}$

Passaggio 1

Risolvi tramite sostituzione per trovare l'intersezione tra le curve.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Elimina i lati uguali di ciascuna equazione e combinale.

$x^{2} = \sqrt[3]{x}$

Passaggio 1.2

Risolvi $x^{2} = \sqrt[3]{x}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché il radicale si trova sul lato destro dell'equazione, inverti i lati così che si trovi sul lato sinistro.

$\sqrt[3]{x} = x^{2}$

Passaggio 1.2.2

Sottrai $x^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\sqrt[3]{x} - x^{2} = 0$

Passaggio 1.2.3

Fattorizza $\sqrt[3]{x} - x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{x}$ come $x^{\frac{1}{3}}$ .

$x^{\frac{1}{3}} - x^{2} = 0$

Passaggio 1.2.3.2

Scomponi $x^{\frac{1}{3}}$ da $x^{\frac{1}{3}} - x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1

Moltiplica per $1$ .

$x^{\frac{1}{3}} \cdot 1 - x^{2} = 0$

Passaggio 1.2.3.2.2

Scomponi $x^{\frac{1}{3}}$ da $- x^{2}$ .

$x^{\frac{1}{3}} \cdot 1 + x^{\frac{1}{3}} (- x^{\frac{5}{3}}) = 0$

Passaggio 1.2.3.2.3

Scomponi $x^{\frac{1}{3}}$ da $x^{\frac{1}{3}} \cdot 1 + x^{\frac{1}{3}} (- x^{\frac{5}{3}})$ .

$x^{\frac{1}{3}} (1 - x^{\frac{5}{3}}) = 0$

Passaggio 1.2.4

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x^{\frac{1}{3}} = 0$

$1 - x^{\frac{5}{3}} = 0 + y = \sqrt[3]{x}$

Passaggio 1.2.5

Imposta $x^{\frac{1}{3}}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.1

Imposta $x^{\frac{1}{3}}$ uguale a $0$ .

$x^{\frac{1}{3}} = 0$

Passaggio 1.2.5.2

Risolvi $x^{\frac{1}{3}} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.2.1

Eleva ogni lato dell'equazione alla potenza di $3$ per eliminare l'esponente frazionario sul lato sinistro.

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Passaggio 1.2.5.2.2

Semplifica l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.2.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.2.2.1.1

Semplifica ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.2.2.1.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.2.2.1.1.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Passaggio 1.2.5.2.2.1.1.1.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.2.2.1.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Passaggio 1.2.5.2.2.1.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$x^{1} = 0^{3}$

Passaggio 1.2.5.2.2.1.1.2

Semplifica.

$x = 0^{3}$

Passaggio 1.2.5.2.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.2.2.2.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$x = 0$

Passaggio 1.2.6

Imposta $1 - x^{\frac{5}{3}}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.1

Imposta $1 - x^{\frac{5}{3}}$ uguale a $0$ .

$1 - x^{\frac{5}{3}} = 0$

Passaggio 1.2.6.2

Risolvi $1 - x^{\frac{5}{3}} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- x^{\frac{5}{3}} = - 1$

Passaggio 1.2.6.2.2

Eleva ogni lato dell'equazione alla potenza di $\frac{3}{5}$ per eliminare l'esponente frazionario sul lato sinistro.

${(- x^{\frac{5}{3}})}^{\frac{3}{5}} = {(- 1)}^{\frac{3}{5}}$

Passaggio 1.2.6.2.3

Semplifica l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.2.3.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.2.3.1.1

Semplifica ${(- x^{\frac{5}{3}})}^{\frac{3}{5}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.2.3.1.1.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.2.3.1.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $- x^{\frac{5}{3}}$ .

${(- 1)}^{\frac{3}{5}} {(x^{\frac{5}{3}})}^{\frac{3}{5}} = {(- 1)}^{\frac{3}{5}}$

Passaggio 1.2.6.2.3.1.1.1.2

Riscrivi $- 1$ come ${(- 1)}^{5}$ .

${({(- 1)}^{5})}^{\frac{3}{5}} {(x^{\frac{5}{3}})}^{\frac{3}{5}} = {(- 1)}^{\frac{3}{5}}$

Passaggio 1.2.6.2.3.1.1.1.3

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(- 1)}^{5 (\frac{3}{5})} {(x^{\frac{5}{3}})}^{\frac{3}{5}} = {(- 1)}^{\frac{3}{5}}$

Passaggio 1.2.6.2.3.1.1.2

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.2.3.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

${(- 1)}^{5 (\frac{3}{5})} {(x^{\frac{5}{3}})}^{\frac{3}{5}} = {(- 1)}^{\frac{3}{5}}$

Passaggio 1.2.6.2.3.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

${(- 1)}^{3} {(x^{\frac{5}{3}})}^{\frac{3}{5}} = {(- 1)}^{\frac{3}{5}}$

Passaggio 1.2.6.2.3.1.1.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.2.3.1.1.3.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$- {(x^{\frac{5}{3}})}^{\frac{3}{5}} = {(- 1)}^{\frac{3}{5}}$

Passaggio 1.2.6.2.3.1.1.3.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{5}{3}})}^{\frac{3}{5}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.2.3.1.1.3.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- x^{\frac{5}{3} \cdot \frac{3}{5}} = {(- 1)}^{\frac{3}{5}}$

Passaggio 1.2.6.2.3.1.1.3.2.2

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.2.3.1.1.3.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$- x^{\frac{5}{3} \cdot \frac{3}{5}} = {(- 1)}^{\frac{3}{5}}$

Passaggio 1.2.6.2.3.1.1.3.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$- x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 1)}^{\frac{3}{5}}$

Passaggio 1.2.6.2.3.1.1.3.2.3

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.2.3.1.1.3.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$- x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 1)}^{\frac{3}{5}}$

Passaggio 1.2.6.2.3.1.1.3.2.3.2

Riscrivi l'espressione.

$- x^{1} = {(- 1)}^{\frac{3}{5}}$

Passaggio 1.2.6.2.3.1.1.4

Semplifica.

$- x = {(- 1)}^{\frac{3}{5}}$

Passaggio 1.2.6.2.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.2.3.2.1

Semplifica ${(- 1)}^{\frac{3}{5}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.2.3.2.1.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.2.3.2.1.1.1

Riscrivi $- 1$ come ${(- 1)}^{5}$ .

$- x = {({(- 1)}^{5})}^{\frac{3}{5}}$

Passaggio 1.2.6.2.3.2.1.1.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- x = {(- 1)}^{5 (\frac{3}{5})}$

Passaggio 1.2.6.2.3.2.1.2

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.2.3.2.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$- x = {(- 1)}^{5 (\frac{3}{5})}$

Passaggio 1.2.6.2.3.2.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$- x = {(- 1)}^{3}$

Passaggio 1.2.6.2.3.2.1.3

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$- x = - 1$

Passaggio 1.2.6.2.4

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.2.4.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = - 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 1.2.6.2.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.2.4.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 1.2.6.2.4.2.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 1.2.6.2.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.2.4.3.1

Dividi $- 1$ per $- 1$ .

$x = 1$

Passaggio 1.2.7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $x^{\frac{1}{3}} (1 - x^{\frac{5}{3}}) = 0$ vera.

$x = 0, 1$

Passaggio 1.3

Risolvi $y$ quando $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Sostituisci $x$ per $0$ .

$y = \sqrt[3]{0}$

Passaggio 1.3.2

Semplifica $\sqrt[3]{0}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Rimuovi le parentesi.

$y = \sqrt[3]{0}$

Passaggio 1.3.2.2

Riscrivi $0$ come $0^{3}$ .

$y = \sqrt[3]{0^{3}}$

Passaggio 1.3.2.3

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali.

$y = 0$

Passaggio 1.4

Risolvi $y$ quando $x = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Sostituisci $x$ per $1$ .

$y = \sqrt[3]{1}$

Passaggio 1.4.2

Semplifica $\sqrt[3]{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.1

Rimuovi le parentesi.

$y = \sqrt[3]{1}$

Passaggio 1.4.2.2

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$y = 1$

Passaggio 1.5

La soluzione del sistema è l'insieme completo di coppie ordinate che sono soluzioni valide.

$(0, 0)$

$(1, 1)$

$(0, 0)$

$(1, 1)$

Passaggio 2

L'area della regione tra le curve è definita come l'integrale della curva superiore meno l'integrale della curva inferiore rispetto a ciascuna regione. Le regioni sono determinate dai punti di intersezione delle curve. Questa operazione si può svolgere algebricamente o graficamente.

$A r e a = \int_{0}^{1} \sqrt[3]{x} d x - \int_{0}^{1} x^{2} d x$

Passaggio 3

Integra per trovare l'area tra $0$ e $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Combina gli interi in un singolo intero.

$\int_{0}^{1} \sqrt[3]{x} - (x^{2}) d x$

Passaggio 3.2

Moltiplica $- 1$ per $x^{2}$ .

$\int_{0}^{1} \sqrt[3]{x} - x^{2} d x$

Passaggio 3.3

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int_{0}^{1} \sqrt[3]{x} d x + \int_{0}^{1} - x^{2} d x$

Passaggio 3.4

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{x}$ come $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\int_{0}^{1} x^{\frac{1}{3}} d x + \int_{0}^{1} - x^{2} d x$

Passaggio 3.5

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{\frac{1}{3}}$ rispetto a $x$ è $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - x^{2} d x$

Passaggio 3.6

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} x^{2} d x$

Passaggio 3.7

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}]_{0}^{1} - (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1})$

Passaggio 3.8

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.1

$\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}]_{0}^{1} - (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1})$

Passaggio 3.8.2

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.2.1

Calcola $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ per $1$ e per $0$ .

$(\frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}}) - \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}} - (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1})$

Passaggio 3.8.2.2

Calcola $\frac{x^{3}}{3}$ per $1$ e per $0$ .

$\frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Passaggio 3.8.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.2.3.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{3}{4} \cdot 1 - \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Passaggio 3.8.2.3.2

Moltiplica $\frac{3}{4}$ per $1$ .

$\frac{3}{4} - \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Passaggio 3.8.2.3.3

Riscrivi $0$ come $0^{3}$ .

$\frac{3}{4} - \frac{3}{4} \cdot {(0^{3})}^{\frac{4}{3}} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Passaggio 3.8.2.3.4

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{4} - \frac{3}{4} \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Passaggio 3.8.2.3.5

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.2.3.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3}{4} - \frac{3}{4} \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Passaggio 3.8.2.3.5.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{3}{4} - \frac{3}{4} \cdot 0^{4} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Passaggio 3.8.2.3.6

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{3}{4} - \frac{3}{4} \cdot 0 - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Passaggio 3.8.2.3.7

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$\frac{3}{4} + 0 (\frac{3}{4}) - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Passaggio 3.8.2.3.8

Moltiplica $0$ per $\frac{3}{4}$ .

$\frac{3}{4} + 0 - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Passaggio 3.8.2.3.9

Somma $\frac{3}{4}$ e $0$ .

$\frac{3}{4} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Passaggio 3.8.2.3.10

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{3}{4} - (\frac{1}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Passaggio 3.8.2.3.11

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{3}{4} - (\frac{1}{3} - \frac{0}{3})$

Passaggio 3.8.2.3.12

Elimina il fattore comune di $0$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.2.3.12.1

Scomponi $3$ da $0$ .

$\frac{3}{4} - (\frac{1}{3} - \frac{3 (0)}{3})$

Passaggio 3.8.2.3.12.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.2.3.12.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$\frac{3}{4} - (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Passaggio 3.8.2.3.12.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{3}{4} - (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Passaggio 3.8.2.3.12.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{3}{4} - (\frac{1}{3} - \frac{0}{1})$

Passaggio 3.8.2.3.12.2.4

Dividi $0$ per $1$ .

$\frac{3}{4} - (\frac{1}{3} - 0)$

Passaggio 3.8.2.3.13

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$\frac{3}{4} - (\frac{1}{3} + 0)$

Passaggio 3.8.2.3.14

Somma $\frac{1}{3}$ e $0$ .

$\frac{3}{4} - \frac{1}{3}$

Passaggio 3.8.2.3.15

Per scrivere $\frac{3}{4}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3}$

Passaggio 3.8.2.3.16

Per scrivere $- \frac{1}{3}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{4}{4}$

Passaggio 3.8.2.3.17

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $12$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.2.3.17.1

Moltiplica $\frac{3}{4}$ per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{4}{4}$

Passaggio 3.8.2.3.17.2

Moltiplica $4$ per $3$ .

$\frac{3 \cdot 3}{12} - \frac{1}{3} \cdot \frac{4}{4}$

Passaggio 3.8.2.3.17.3

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $\frac{4}{4}$ .

$\frac{3 \cdot 3}{12} - \frac{4}{3 \cdot 4}$

Passaggio 3.8.2.3.17.4

Moltiplica $3$ per $4$ .

$\frac{3 \cdot 3}{12} - \frac{4}{12}$

Passaggio 3.8.2.3.18

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{3 \cdot 3 - 4}{12}$

Passaggio 3.8.2.3.19

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.2.3.19.1

Moltiplica $3$ per $3$ .

$\frac{9 - 4}{12}$

Passaggio 3.8.2.3.19.2

Sottrai $4$ da $9$ .

$\frac{5}{12}$

Passaggio 4