Calcolo Esempi

$y = x^{\frac{4}{3}}$ , $y = 2 x^{\frac{1}{3}}$

Passaggio 1

Risolvi tramite sostituzione per trovare l'intersezione tra le curve.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Elimina i lati uguali di ciascuna equazione e combinale.

$x^{\frac{4}{3}} = 2 x^{\frac{1}{3}}$

Passaggio 1.2

Risolvi $x^{\frac{4}{3}} = 2 x^{\frac{1}{3}}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Elimina l'esponente frazionario moltiplicando entrambi gli esponenti per il minimo comune denominatore.

${(x^{\frac{4}{3}})}^{3} = {(2 x^{\frac{1}{3}})}^{3}$

Passaggio 1.2.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{4}{3}})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{4}{3} \cdot 3} = {(2 x^{\frac{1}{3}})}^{3}$

Passaggio 1.2.2.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$x^{\frac{4}{3} \cdot 3} = {(2 x^{\frac{1}{3}})}^{3}$

Passaggio 1.2.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$x^{4} = {(2 x^{\frac{1}{3}})}^{3}$

Passaggio 1.2.3

Semplifica ${(2 x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Applica la regola del prodotto a $2 x^{\frac{1}{3}}$ .

$x^{4} = 2^{3} {(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$

Passaggio 1.2.3.2

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$x^{4} = 8 {(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$

Passaggio 1.2.3.3

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.3.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{4} = 8 x^{\frac{1}{3} \cdot 3}$

Passaggio 1.2.3.3.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$x^{4} = 8 x^{\frac{1}{3} \cdot 3}$

Passaggio 1.2.3.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$x^{4} = 8 x^{1}$

Passaggio 1.2.3.4

Semplifica.

$x^{4} = 8 x$

Passaggio 1.2.4

Sottrai $8 x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{4} - 8 x = 0$

Passaggio 1.2.5

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.1

Scomponi $x$ da $x^{4} - 8 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.1.1

Scomponi $x$ da $x^{4}$ .

$x \cdot x^{3} - 8 x = 0$

Passaggio 1.2.5.1.2

Scomponi $x$ da $- 8 x$ .

$x \cdot x^{3} + x \cdot - 8 = 0$

Passaggio 1.2.5.1.3

Scomponi $x$ da $x \cdot x^{3} + x \cdot - 8$ .

$x (x^{3} - 8) = 0$

Passaggio 1.2.5.2

Riscrivi $8$ come $2^{3}$ .

$x (x^{3} - 2^{3}) = 0$

Passaggio 1.2.5.3

Poiché entrambi i termini sono dei cubi perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di cubi, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ dove $a = x$ e $b = 2$ .

$x ((x - 2) (x^{2} + x \cdot 2 + 2^{2})) = 0$

Passaggio 1.2.5.4

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.4.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.4.1.1

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$x ((x - 2) (x^{2} + 2 x + 2^{2})) = 0$

Passaggio 1.2.5.4.1.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$x ((x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)) = 0$

Passaggio 1.2.5.4.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$x (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) = 0$

Passaggio 1.2.6

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$x - 2 = 0$

$x^{2} + 2 x + 4 = 0 + y = 2 x^{\frac{1}{3}}$

Passaggio 1.2.7

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 1.2.8

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.8.1

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ .

$x - 2 = 0$

Passaggio 1.2.8.2

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 2$

Passaggio 1.2.9

Imposta $x^{2} + 2 x + 4$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.9.1

Imposta $x^{2} + 2 x + 4$ uguale a $0$ .

$x^{2} + 2 x + 4 = 0$

Passaggio 1.2.9.2

Risolvi $x^{2} + 2 x + 4 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.9.2.1

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a} + y = 2 x^{\frac{1}{3}}$

Passaggio 1.2.9.2.2

Sostituisci i valori $a = 1$ , $b = 2$ e $c = 4$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 4)}}{2 \cdot 1} + y = 2 x^{\frac{1}{3}}$

Passaggio 1.2.9.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.9.2.3.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.9.2.3.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.9.2.3.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.9.2.3.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.9.2.3.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.9.2.3.1.3

Sottrai $16$ da $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.9.2.3.1.4

Riscrivi $- 12$ come $- 1 (12)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.9.2.3.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (12)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.9.2.3.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.9.2.3.1.7

Riscrivi $12$ come $2^{2} \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.9.2.3.1.7.1

Scomponi $4$ da $12$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.9.2.3.1.7.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.9.2.3.1.8

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.9.2.3.1.9

Sposta $2$ alla sinistra di $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.9.2.3.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 1.2.9.2.3.3

Semplifica $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

Passaggio 1.2.9.2.4

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $+$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.9.2.4.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.9.2.4.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.9.2.4.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.9.2.4.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.9.2.4.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.9.2.4.1.3

Sottrai $16$ da $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.9.2.4.1.4

Riscrivi $- 12$ come $- 1 (12)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.9.2.4.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (12)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.9.2.4.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.9.2.4.1.7

Riscrivi $12$ come $2^{2} \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.9.2.4.1.7.1

Scomponi $4$ da $12$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.9.2.4.1.7.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.9.2.4.1.8

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.9.2.4.1.9

Sposta $2$ alla sinistra di $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.9.2.4.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 1.2.9.2.4.3

Semplifica $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

Passaggio 1.2.9.2.4.4

Cambia da $\pm$ a $+$ .

$x = - 1 + i \sqrt{3}$

Passaggio 1.2.9.2.5

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $-$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.9.2.5.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.9.2.5.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.9.2.5.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.9.2.5.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.9.2.5.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.9.2.5.1.3

Sottrai $16$ da $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.9.2.5.1.4

Riscrivi $- 12$ come $- 1 (12)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.9.2.5.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (12)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.9.2.5.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.9.2.5.1.7

Riscrivi $12$ come $2^{2} \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.9.2.5.1.7.1

Scomponi $4$ da $12$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.9.2.5.1.7.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.9.2.5.1.8

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.9.2.5.1.9

Sposta $2$ alla sinistra di $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.9.2.5.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 1.2.9.2.5.3

Semplifica $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

Passaggio 1.2.9.2.5.4

Cambia da $\pm$ a $-$ .

$x = - 1 - i \sqrt{3}$

Passaggio 1.2.9.2.6

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$x = - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

Passaggio 1.2.10

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $x (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) = 0$ vera.

$x = 0, 2, - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

Passaggio 1.3

Risolvi $y$ quando $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Sostituisci $x$ per $0$ .

$y = 2 {(0)}^{\frac{1}{3}}$

Passaggio 1.3.2

Sostituisci $0$ per $x$ in $y = 2 {(0)}^{\frac{1}{3}}$ e risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Rimuovi le parentesi.

$y = 2 \cdot 0^{\frac{1}{3}}$

Passaggio 1.3.2.2

Semplifica $2 \cdot 0^{\frac{1}{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.2.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.2.1.1

Riscrivi $0$ come $0^{3}$ .

$y = 2 \cdot {(0^{3})}^{\frac{1}{3}}$

Passaggio 1.3.2.2.1.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = 2 \cdot 0^{3 (\frac{1}{3})}$

Passaggio 1.3.2.2.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$y = 2 \cdot 0^{3 (\frac{1}{3})}$

Passaggio 1.3.2.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y = 2 \cdot 0^{1}$

Passaggio 1.3.2.2.3

Calcola l'esponente.

$y = 2 \cdot 0$

Passaggio 1.3.2.2.4

Moltiplica $2$ per $0$ .

$y = 0$

Passaggio 1.4

Risolvi $y$ quando $x = 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Sostituisci $x$ per $2$ .

$y = 2 {(2)}^{\frac{1}{3}}$

Passaggio 1.4.2

Sostituisci $2$ per $x$ in $y = 2 {(2)}^{\frac{1}{3}}$ e risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.1

Rimuovi le parentesi.

$y = 2 \cdot 2^{\frac{1}{3}}$

Passaggio 1.4.2.2

Moltiplica $2$ per $2^{\frac{1}{3}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.2.1

Moltiplica $2$ per $2^{\frac{1}{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.2.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $1$ .

$y = 2^{1} \cdot 2^{\frac{1}{3}}$

Passaggio 1.4.2.2.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y = 2^{1 + \frac{1}{3}}$

Passaggio 1.4.2.2.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$y = 2^{\frac{3}{3} + \frac{1}{3}}$

Passaggio 1.4.2.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = 2^{\frac{3 + 1}{3}}$

Passaggio 1.4.2.2.4

Somma $3$ e $1$ .

$y = 2^{\frac{4}{3}}$

Passaggio 1.5

Sostituisci $x$ per $- 1 + i \sqrt{3}$ .

$y = 2 {(- 1 + i \sqrt{3})}^{\frac{1}{3}}$

Passaggio 1.6

Sostituisci $x$ per $- 1 - i \sqrt{3}$ .

$y = 2 {(- 1 - i \sqrt{3})}^{\frac{1}{3}}$

Passaggio 1.7

Elenca tutte le soluzioni.

$y = 0, x = 0$

$y = 2^{\frac{4}{3}}, x = 2$

$y = 2 {(- 1 + i \sqrt{3})}^{\frac{1}{3}}, x = - 1 + i \sqrt{3}$

$y = 2 {(- 1 - i \sqrt{3})}^{\frac{1}{3}}, x = - 1 - i \sqrt{3}$

$y = 0, x = 0$

$y = 2^{\frac{4}{3}}, x = 2$

$y = 2 {(- 1 + i \sqrt{3})}^{\frac{1}{3}}, x = - 1 + i \sqrt{3}$

$y = 2 {(- 1 - i \sqrt{3})}^{\frac{1}{3}}, x = - 1 - i \sqrt{3}$

Passaggio 2

L'area tra le curve date è illimitata.

Area illimitata

Passaggio 3