Calcolo Esempi

$y = \frac{1}{x}$ , $x = 1$ , $x = 2$ , $y = 0$

Passaggio 1

Per calcolare il volume del solido, devi innanzitutto definire l'area di ogni sezione, quindi eseguire l'integrazione su tutto l'intervallo. L'area di ogni sezione è un cerchio con raggio $f (x)$ e $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{1}^{2} {(f (x))}^{2} d x$ dove $f (x) = \frac{1}{x}$

Passaggio 2

Semplifica l'integrando.

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Passaggio 2.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{x}$ .

$V = \frac{1^{2}}{x^{2}}$

Passaggio 2.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$V = \frac{1}{x^{2}}$

Passaggio 3

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 3.1

Sposta $x^{2}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$V = π \int_{1}^{2} {(x^{2})}^{- 1} d x$

Passaggio 3.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Passaggio 3.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V = π \int_{1}^{2} x^{2 \cdot - 1} d x$

Passaggio 3.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$V = π \int_{1}^{2} x^{- 2} d x$

Passaggio 4

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{- 2}$ rispetto a $x$ è $- x^{- 1}$ .

$V = π - x^{- 1}]_{1}^{2}$

Passaggio 5

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 5.1

Calcola $- x^{- 1}$ per $2$ e per $1$ .

$V = π ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

Passaggio 5.2

Semplifica.

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Passaggio 5.2.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$V = π (- \frac{1}{2} + 1^{- 1})$

Passaggio 5.2.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$V = π (- \frac{1}{2} + 1)$

Passaggio 5.2.3

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$V = π (- \frac{1}{2} + \frac{2}{2})$

Passaggio 5.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$V = π (\frac{- 1 + 2}{2})$

Passaggio 5.2.5

Somma $- 1$ e $2$ .

$V = π (\frac{1}{2})$

Passaggio 5.2.6

$π$ e $\frac{1}{2}$ .

$V = \frac{π}{2}$

Passaggio 6

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$V = \frac{π}{2}$

Forma decimale:

$V = 1.57079632 \dots$

Passaggio 7