Calcolo Esempi

$y = x^{2}$ , $y = 4 x$

Passaggio 1

Per calcolare il volume del solido, devi innanzitutto definire l'area di ogni sezione, quindi eseguire l'integrazione su tutto l'intervallo. L'area di ogni sezione è un cerchio con raggio $f (x)$ e $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{0}^{4} {(f (x))}^{2} - {(g (x))}^{2} d x$ dove $f (x) = 4 x$ e $g (x) = x^{2}$

Passaggio 2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.1

Applica la regola del prodotto a $4 x$ .

$V = 4^{2} x^{2} - {(x^{2})}^{2}$

Passaggio 2.2

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$V = 16 x^{2} - {(x^{2})}^{2}$

Passaggio 2.3

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{2}$ .

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Passaggio 2.3.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V = 16 x^{2} - x^{2 \cdot 2}$

Passaggio 2.3.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$V = 16 x^{2} - x^{4}$

Passaggio 3

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$V = π (\int_{0}^{4} 16 x^{2} d x + \int_{0}^{4} - x^{4} d x)$

Passaggio 4

Poiché $16$ è costante rispetto a $x$ , sposta $16$ fuori dall'integrale.

$V = π (16 \int_{0}^{4} x^{2} d x + \int_{0}^{4} - x^{4} d x)$

Passaggio 5

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$V = π (16 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{4}) + \int_{0}^{4} - x^{4} d x)$

Passaggio 6

$\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$V = π (16 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{4}) + \int_{0}^{4} - x^{4} d x)$

Passaggio 7

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$V = π (16 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{4}) - \int_{0}^{4} x^{4} d x)$

Passaggio 8

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{4}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$V = π (16 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{4}) - (\frac{1}{5} x^{5}]_{0}^{4}))$

Passaggio 9

Semplifica la risposta.

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Passaggio 9.1

$\frac{1}{5}$ e $x^{5}$ .

$V = π (16 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{4}) - (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{4}))$

Passaggio 9.2

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Calcola $\frac{x^{3}}{3}$ per $4$ e per $0$ .

$V = π (16 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}) - (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{4}))$

Passaggio 9.2.2

Calcola $\frac{x^{5}}{5}$ per $4$ e per $0$ .

$V = π (16 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - (\frac{4^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Passaggio 9.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.3.1

Eleva $4$ alla potenza di $3$ .

$V = π (16 (\frac{64}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - (\frac{4^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Passaggio 9.2.3.2

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$V = π (16 (\frac{64}{3} - \frac{0}{3}) - (\frac{4^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Passaggio 9.2.3.3

Elimina il fattore comune di $0$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.3.3.1

Scomponi $3$ da $0$ .

$V = π (16 (\frac{64}{3} - \frac{3 (0)}{3}) - (\frac{4^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Passaggio 9.2.3.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.3.3.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$V = π (16 (\frac{64}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - (\frac{4^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Passaggio 9.2.3.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$V = π (16 (\frac{64}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - (\frac{4^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Passaggio 9.2.3.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$V = π (16 (\frac{64}{3} - \frac{0}{1}) - (\frac{4^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Passaggio 9.2.3.3.2.4

Dividi $0$ per $1$ .

$V = π (16 (\frac{64}{3} - 0) - (\frac{4^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Passaggio 9.2.3.4

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$V = π (16 (\frac{64}{3} + 0) - (\frac{4^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Passaggio 9.2.3.5

Somma $\frac{64}{3}$ e $0$ .

$V = π (16 (\frac{64}{3}) - (\frac{4^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Passaggio 9.2.3.6

$16$ e $\frac{64}{3}$ .

$V = π (\frac{16 \cdot 64}{3} - (\frac{4^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Passaggio 9.2.3.7

Moltiplica $16$ per $64$ .

$V = π (\frac{1024}{3} - (\frac{4^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Passaggio 9.2.3.8

Eleva $4$ alla potenza di $5$ .

$V = π (\frac{1024}{3} - (\frac{1024}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Passaggio 9.2.3.9

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$V = π (\frac{1024}{3} - (\frac{1024}{5} - \frac{0}{5}))$

Passaggio 9.2.3.10

Elimina il fattore comune di $0$ e $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.3.10.1

Scomponi $5$ da $0$ .

$V = π (\frac{1024}{3} - (\frac{1024}{5} - \frac{5 (0)}{5}))$

Passaggio 9.2.3.10.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.3.10.2.1

Scomponi $5$ da $5$ .

$V = π (\frac{1024}{3} - (\frac{1024}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1}))$

Passaggio 9.2.3.10.2.2

Elimina il fattore comune.

$V = π (\frac{1024}{3} - (\frac{1024}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1}))$

Passaggio 9.2.3.10.2.3

Riscrivi l'espressione.

$V = π (\frac{1024}{3} - (\frac{1024}{5} - \frac{0}{1}))$

Passaggio 9.2.3.10.2.4

Dividi $0$ per $1$ .

$V = π (\frac{1024}{3} - (\frac{1024}{5} - 0))$

Passaggio 9.2.3.11

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$V = π (\frac{1024}{3} - (\frac{1024}{5} + 0))$

Passaggio 9.2.3.12

Somma $\frac{1024}{5}$ e $0$ .

$V = π (\frac{1024}{3} - \frac{1024}{5})$

Passaggio 9.2.3.13

Per scrivere $\frac{1024}{3}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{5}{5}$ .

$V = π (\frac{1024}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{1024}{5})$

Passaggio 9.2.3.14

Per scrivere $- \frac{1024}{5}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$V = π (\frac{1024}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{1024}{5} \cdot \frac{3}{3})$

Passaggio 9.2.3.15

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $15$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.3.15.1

Moltiplica $\frac{1024}{3}$ per $\frac{5}{5}$ .

$V = π (\frac{1024 \cdot 5}{3 \cdot 5} - \frac{1024}{5} \cdot \frac{3}{3})$

Passaggio 9.2.3.15.2

Moltiplica $3$ per $5$ .

$V = π (\frac{1024 \cdot 5}{15} - \frac{1024}{5} \cdot \frac{3}{3})$

Passaggio 9.2.3.15.3

Moltiplica $\frac{1024}{5}$ per $\frac{3}{3}$ .

$V = π (\frac{1024 \cdot 5}{15} - \frac{1024 \cdot 3}{5 \cdot 3})$

Passaggio 9.2.3.15.4

Moltiplica $5$ per $3$ .

$V = π (\frac{1024 \cdot 5}{15} - \frac{1024 \cdot 3}{15})$

Passaggio 9.2.3.16

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$V = π (\frac{1024 \cdot 5 - 1024 \cdot 3}{15})$

Passaggio 9.2.3.17

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 9.2.3.17.1

Moltiplica $1024$ per $5$ .

$V = π (\frac{5120 - 1024 \cdot 3}{15})$

Passaggio 9.2.3.17.2

Moltiplica $- 1024$ per $3$ .

$V = π (\frac{5120 - 3072}{15})$

Passaggio 9.2.3.17.3

Sottrai $3072$ da $5120$ .

$V = π (\frac{2048}{15})$

Passaggio 9.2.3.18

$π$ e $\frac{2048}{15}$ .

$V = \frac{π \cdot 2048}{15}$

Passaggio 9.2.3.19

Sposta $2048$ alla sinistra di $π$ .

$V = \frac{2048 π}{15}$

Passaggio 10

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$V = \frac{2048 π}{15}$

Forma decimale:

$V = 428.93211697 \dots$

Passaggio 11