Calcolo Esempi

$y = \frac{3}{x}$ , $x = 7$ , $x = 14$ , $y = 0$

Passaggio 1

Per calcolare il volume del solido, devi innanzitutto definire l'area di ogni sezione, quindi eseguire l'integrazione su tutto l'intervallo. L'area di ogni sezione è un cerchio con raggio $f (x)$ e $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{7}^{14} {(f (x))}^{2} d x$ dove $f (x) = \frac{3}{x}$

Passaggio 2

Semplifica l'integrando.

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Passaggio 2.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{3}{x}$ .

$V = \frac{3^{2}}{x^{2}}$

Passaggio 2.2

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$V = \frac{9}{x^{2}}$

Passaggio 3

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , sposta $9$ fuori dall'integrale.

$V = π (9 \int_{7}^{14} \frac{1}{x^{2}} d x)$

Passaggio 4

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 4.1

Sposta $9$ alla sinistra di $π$ .

$V = 9 π \int_{7}^{14} \frac{1}{x^{2}} d x$

Passaggio 4.2

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 4.2.1

Sposta $x^{2}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$V = 9 π \int_{7}^{14} {(x^{2})}^{- 1} d x$

Passaggio 4.2.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Passaggio 4.2.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V = 9 π \int_{7}^{14} x^{2 \cdot - 1} d x$

Passaggio 4.2.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$V = 9 π \int_{7}^{14} x^{- 2} d x$

Passaggio 5

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{- 2}$ rispetto a $x$ è $- x^{- 1}$ .

$V = 9 π - x^{- 1}]_{7}^{14}$

Passaggio 6

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 6.1

Calcola $- x^{- 1}$ per $14$ e per $7$ .

$V = 9 π ((- 14^{- 1}) + 7^{- 1})$

Passaggio 6.2

Semplifica.

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Passaggio 6.2.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$V = 9 π (- \frac{1}{14} + 7^{- 1})$

Passaggio 6.2.2

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$V = 9 π (- \frac{1}{14} + \frac{1}{7})$

Passaggio 6.2.3

Per scrivere $\frac{1}{7}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$V = 9 π (- \frac{1}{14} + \frac{1}{7} \cdot \frac{2}{2})$

Passaggio 6.2.4

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $14$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

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Passaggio 6.2.4.1

Moltiplica $\frac{1}{7}$ per $\frac{2}{2}$ .

$V = 9 π (- \frac{1}{14} + \frac{2}{7 \cdot 2})$

Passaggio 6.2.4.2

Moltiplica $7$ per $2$ .

$V = 9 π (- \frac{1}{14} + \frac{2}{14})$

Passaggio 6.2.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$V = 9 π (\frac{- 1 + 2}{14})$

Passaggio 6.2.6

Somma $- 1$ e $2$ .

$V = 9 π (\frac{1}{14})$

Passaggio 6.2.7

$\frac{1}{14}$ e $9$ .

$V = \frac{9}{14} \cdot π$

Passaggio 6.2.8

$\frac{9}{14}$ e $π$ .

$V = \frac{9 π}{14}$

Passaggio 7

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$V = \frac{9 π}{14}$

Forma decimale:

$V = 2.01959527 \dots$

Passaggio 8