Calcolo Esempi

$y^{2} = 2 x$ , $x = 2 y$

Passaggio 1

Per calcolare il volume del solido, devi innanzitutto definire l'area di ogni sezione, quindi eseguire l'integrazione su tutto l'intervallo. L'area di ogni sezione è un cerchio con raggio $f (y)$ e $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{0}^{4} {(f (y))}^{2} - {(g (y))}^{2} d y$ dove $f (y) = 2 y$ e $g (y) = \frac{y^{2}}{2}$

Passaggio 2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Applica la regola del prodotto a $2 y$ .

$V = 2^{2} y^{2} - {(\frac{y^{2}}{2})}^{2}$

Passaggio 2.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$V = 4 y^{2} - {(\frac{y^{2}}{2})}^{2}$

Passaggio 2.3

Applica la regola del prodotto a $\frac{y^{2}}{2}$ .

$V = 4 y^{2} - \frac{{(y^{2})}^{2}}{2^{2}}$

Passaggio 2.4

Moltiplica gli esponenti in ${(y^{2})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V = 4 y^{2} - \frac{y^{2 \cdot 2}}{2^{2}}$

Passaggio 2.4.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$V = 4 y^{2} - \frac{y^{4}}{2^{2}}$

Passaggio 2.5

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$V = 4 y^{2} - \frac{y^{4}}{4}$

Passaggio 3

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$V = π (\int_{0}^{4} 4 y^{2} d y + \int_{0}^{4} - \frac{y^{4}}{4} d y)$

Passaggio 4

Poiché $4$ è costante rispetto a $y$ , sposta $4$ fuori dall'integrale.

$V = π (4 \int_{0}^{4} y^{2} d y + \int_{0}^{4} - \frac{y^{4}}{4} d y)$

Passaggio 5

Secondo la regola di potenza, l'intero di $y^{2}$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$V = π (4 (\frac{1}{3} y^{3}]_{0}^{4}) + \int_{0}^{4} - \frac{y^{4}}{4} d y)$

Passaggio 6

$\frac{1}{3}$ e $y^{3}$ .

$V = π (4 (\frac{y^{3}}{3}]_{0}^{4}) + \int_{0}^{4} - \frac{y^{4}}{4} d y)$

Passaggio 7

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$V = π (4 (\frac{y^{3}}{3}]_{0}^{4}) - \int_{0}^{4} \frac{y^{4}}{4} d y)$

Passaggio 8

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $y$ , sposta $\frac{1}{4}$ fuori dall'integrale.

$V = π (4 (\frac{y^{3}}{3}]_{0}^{4}) - (\frac{1}{4} \cdot \int_{0}^{4} y^{4} d y))$

Passaggio 9

Secondo la regola di potenza, l'intero di $y^{4}$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{5} y^{5}$ .

$V = π (4 (\frac{y^{3}}{3}]_{0}^{4}) - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{5} y^{5}]_{0}^{4})$

Passaggio 10

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.1

$\frac{1}{5}$ e $y^{5}$ .

$V = π (4 (\frac{y^{3}}{3}]_{0}^{4}) - \frac{1}{4} \cdot \frac{y^{5}}{5}]_{0}^{4})$

Passaggio 10.1.2

$\frac{y^{5}}{5}]_{0}^{4}$ e $\frac{1}{4}$ .

$V = π (4 (\frac{y^{3}}{3}]_{0}^{4}) - \frac{\frac{y^{5}}{5}]_{0}^{4}}{4})$

Passaggio 10.2

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Calcola $\frac{y^{3}}{3}$ per $4$ e per $0$ .

$V = π (4 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}) - \frac{\frac{y^{5}}{5}]_{0}^{4}}{4})$

Passaggio 10.2.2

Calcola $\frac{y^{5}}{5}$ per $4$ e per $0$ .

$V = π (4 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}) - \frac{(\frac{4^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}}{4})$

Passaggio 10.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.3.1

Eleva $4$ alla potenza di $3$ .

$V = π (4 (\frac{64}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - \frac{(\frac{4^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}}{4})$

Passaggio 10.2.3.2

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$V = π (4 (\frac{64}{3} - \frac{0}{3}) - \frac{(\frac{4^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}}{4})$

Passaggio 10.2.3.3

Elimina il fattore comune di $0$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.3.3.1

Scomponi $3$ da $0$ .

$V = π (4 (\frac{64}{3} - \frac{3 (0)}{3}) - \frac{(\frac{4^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}}{4})$

Passaggio 10.2.3.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.3.3.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$V = π (4 (\frac{64}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - \frac{(\frac{4^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}}{4})$

Passaggio 10.2.3.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$V = π (4 (\frac{64}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - \frac{(\frac{4^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}}{4})$

Passaggio 10.2.3.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$V = π (4 (\frac{64}{3} - \frac{0}{1}) - \frac{(\frac{4^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}}{4})$

Passaggio 10.2.3.3.2.4

Dividi $0$ per $1$ .

$V = π (4 (\frac{64}{3} - 0) - \frac{(\frac{4^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}}{4})$

Passaggio 10.2.3.4

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$V = π (4 (\frac{64}{3} + 0) - \frac{(\frac{4^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}}{4})$

Passaggio 10.2.3.5

Somma $\frac{64}{3}$ e $0$ .

$V = π (4 (\frac{64}{3}) - \frac{(\frac{4^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}}{4})$

Passaggio 10.2.3.6

$4$ e $\frac{64}{3}$ .

$V = π (\frac{4 \cdot 64}{3} - \frac{(\frac{4^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}}{4})$

Passaggio 10.2.3.7

Moltiplica $4$ per $64$ .

$V = π (\frac{256}{3} - \frac{(\frac{4^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}}{4})$

Passaggio 10.2.3.8

Eleva $4$ alla potenza di $5$ .

$V = π (\frac{256}{3} - \frac{\frac{1024}{5} - \frac{0^{5}}{5}}{4})$

Passaggio 10.2.3.9

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$V = π (\frac{256}{3} - \frac{\frac{1024}{5} - \frac{0}{5}}{4})$

Passaggio 10.2.3.10

Elimina il fattore comune di $0$ e $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.3.10.1

Scomponi $5$ da $0$ .

$V = π (\frac{256}{3} - \frac{\frac{1024}{5} - \frac{5 (0)}{5}}{4})$

Passaggio 10.2.3.10.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.3.10.2.1

Scomponi $5$ da $5$ .

$V = π (\frac{256}{3} - \frac{\frac{1024}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1}}{4})$

Passaggio 10.2.3.10.2.2

Elimina il fattore comune.

$V = π (\frac{256}{3} - \frac{\frac{1024}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1}}{4})$

Passaggio 10.2.3.10.2.3

Riscrivi l'espressione.

$V = π (\frac{256}{3} - \frac{\frac{1024}{5} - \frac{0}{1}}{4})$

Passaggio 10.2.3.10.2.4

Dividi $0$ per $1$ .

$V = π (\frac{256}{3} - \frac{\frac{1024}{5} - 0}{4})$

Passaggio 10.2.3.11

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$V = π (\frac{256}{3} - \frac{\frac{1024}{5} + 0}{4})$

Passaggio 10.2.3.12

Somma $\frac{1024}{5}$ e $0$ .

$V = π (\frac{256}{3} - \frac{\frac{1024}{5}}{4})$

Passaggio 10.2.3.13

Riscrivi $\frac{\frac{1024}{5}}{4}$ come un prodotto.

$V = π (\frac{256}{3} - (\frac{1024}{5} \cdot \frac{1}{4}))$

Passaggio 10.2.3.14

Moltiplica $\frac{1024}{5}$ per $\frac{1}{4}$ .

$V = π (\frac{256}{3} - \frac{1024}{5 \cdot 4})$

Passaggio 10.2.3.15

Moltiplica $5$ per $4$ .

$V = π (\frac{256}{3} - \frac{1024}{20})$

Passaggio 10.2.3.16

Elimina il fattore comune di $1024$ e $20$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.3.16.1

Scomponi $4$ da $1024$ .

$V = π (\frac{256}{3} - \frac{4 (256)}{20})$

Passaggio 10.2.3.16.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.3.16.2.1

Scomponi $4$ da $20$ .

$V = π (\frac{256}{3} - \frac{4 \cdot 256}{4 \cdot 5})$

Passaggio 10.2.3.16.2.2

Elimina il fattore comune.

$V = π (\frac{256}{3} - \frac{4 \cdot 256}{4 \cdot 5})$

Passaggio 10.2.3.16.2.3

Riscrivi l'espressione.

$V = π (\frac{256}{3} - \frac{256}{5})$

Passaggio 10.2.3.17

Per scrivere $\frac{256}{3}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{5}{5}$ .

$V = π (\frac{256}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{256}{5})$

Passaggio 10.2.3.18

Per scrivere $- \frac{256}{5}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$V = π (\frac{256}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{256}{5} \cdot \frac{3}{3})$

Passaggio 10.2.3.19

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $15$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.3.19.1

Moltiplica $\frac{256}{3}$ per $\frac{5}{5}$ .

$V = π (\frac{256 \cdot 5}{3 \cdot 5} - \frac{256}{5} \cdot \frac{3}{3})$

Passaggio 10.2.3.19.2

Moltiplica $3$ per $5$ .

$V = π (\frac{256 \cdot 5}{15} - \frac{256}{5} \cdot \frac{3}{3})$

Passaggio 10.2.3.19.3

Moltiplica $\frac{256}{5}$ per $\frac{3}{3}$ .

$V = π (\frac{256 \cdot 5}{15} - \frac{256 \cdot 3}{5 \cdot 3})$

Passaggio 10.2.3.19.4

Moltiplica $5$ per $3$ .

$V = π (\frac{256 \cdot 5}{15} - \frac{256 \cdot 3}{15})$

Passaggio 10.2.3.20

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$V = π (\frac{256 \cdot 5 - 256 \cdot 3}{15})$

Passaggio 10.2.3.21

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.3.21.1

Moltiplica $256$ per $5$ .

$V = π (\frac{1280 - 256 \cdot 3}{15})$

Passaggio 10.2.3.21.2

Moltiplica $- 256$ per $3$ .

$V = π (\frac{1280 - 768}{15})$

Passaggio 10.2.3.21.3

Sottrai $768$ da $1280$ .

$V = π (\frac{512}{15})$

Passaggio 10.2.3.22

$π$ e $\frac{512}{15}$ .

$V = \frac{π \cdot 512}{15}$

Passaggio 10.2.3.23

Sposta $512$ alla sinistra di $π$ .

$V = \frac{512 π}{15}$

Passaggio 11

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$V = \frac{512 π}{15}$

Forma decimale:

$V = 107.23302924 \dots$

Passaggio 12