Calcolo Esempi

$x = y^{\frac{1}{3}}$ , $x = 0$ , $y = 64$

Passaggio 1

Per calcolare il volume del solido, devi innanzitutto definire l'area di ogni sezione, quindi eseguire l'integrazione su tutto l'intervallo. L'area di ogni sezione è un cerchio con raggio $f (x)$ e $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{0}^{4} {(f (x))}^{2} - {(g (x))}^{2} d x$ dove $f (x) = 64$ e $g (x) = x^{3}$

Passaggio 2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.1

Eleva $64$ alla potenza di $2$ .

$V = 4096 - {(x^{3})}^{2}$

Passaggio 2.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{3})}^{2}$ .

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Passaggio 2.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V = 4096 - x^{3 \cdot 2}$

Passaggio 2.2.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$V = 4096 - x^{6}$

Passaggio 3

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$V = π (\int_{0}^{4} 4096 d x + \int_{0}^{4} - x^{6} d x)$

Passaggio 4

Applica la regola costante.

$V = π (4096 x]_{0}^{4} + \int_{0}^{4} - x^{6} d x)$

Passaggio 5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$V = π (4096 x]_{0}^{4} - \int_{0}^{4} x^{6} d x)$

Passaggio 6

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{6}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{7} x^{7}$ .

$V = π (4096 x]_{0}^{4} - (\frac{1}{7} x^{7}]_{0}^{4}))$

Passaggio 7

Semplifica la risposta.

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Passaggio 7.1

$\frac{1}{7}$ e $x^{7}$ .

$V = π (4096 x]_{0}^{4} - (\frac{x^{7}}{7}]_{0}^{4}))$

Passaggio 7.2

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 7.2.1

Calcola $4096 x$ per $4$ e per $0$ .

$V = π ((4096 \cdot 4) - 4096 \cdot 0 - (\frac{x^{7}}{7}]_{0}^{4}))$

Passaggio 7.2.2

Calcola $\frac{x^{7}}{7}$ per $4$ e per $0$ .

$V = π (4096 \cdot 4 - 4096 \cdot 0 - (\frac{4^{7}}{7} - \frac{0^{7}}{7}))$

Passaggio 7.2.3

Semplifica.

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Passaggio 7.2.3.1

Moltiplica $4096$ per $4$ .

$V = π (16384 - 4096 \cdot 0 - (\frac{4^{7}}{7} - \frac{0^{7}}{7}))$

Passaggio 7.2.3.2

Moltiplica $- 4096$ per $0$ .

$V = π (16384 + 0 - (\frac{4^{7}}{7} - \frac{0^{7}}{7}))$

Passaggio 7.2.3.3

Somma $16384$ e $0$ .

$V = π (16384 - (\frac{4^{7}}{7} - \frac{0^{7}}{7}))$

Passaggio 7.2.3.4

Eleva $4$ alla potenza di $7$ .

$V = π (16384 - (\frac{16384}{7} - \frac{0^{7}}{7}))$

Passaggio 7.2.3.5

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$V = π (16384 - (\frac{16384}{7} - \frac{0}{7}))$

Passaggio 7.2.3.6

Elimina il fattore comune di $0$ e $7$ .

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Passaggio 7.2.3.6.1

Scomponi $7$ da $0$ .

$V = π (16384 - (\frac{16384}{7} - \frac{7 (0)}{7}))$

Passaggio 7.2.3.6.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.3.6.2.1

Scomponi $7$ da $7$ .

$V = π (16384 - (\frac{16384}{7} - \frac{7 \cdot 0}{7 \cdot 1}))$

Passaggio 7.2.3.6.2.2

Elimina il fattore comune.

$V = π (16384 - (\frac{16384}{7} - \frac{7 \cdot 0}{7 \cdot 1}))$

Passaggio 7.2.3.6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$V = π (16384 - (\frac{16384}{7} - \frac{0}{1}))$

Passaggio 7.2.3.6.2.4

Dividi $0$ per $1$ .

$V = π (16384 - (\frac{16384}{7} - 0))$

Passaggio 7.2.3.7

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$V = π (16384 - (\frac{16384}{7} + 0))$

Passaggio 7.2.3.8

Somma $\frac{16384}{7}$ e $0$ .

$V = π (16384 - \frac{16384}{7})$

Passaggio 7.2.3.9

Per scrivere $16384$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{7}{7}$ .

$V = π (16384 \cdot \frac{7}{7} - \frac{16384}{7})$

Passaggio 7.2.3.10

$16384$ e $\frac{7}{7}$ .

$V = π (\frac{16384 \cdot 7}{7} - \frac{16384}{7})$

Passaggio 7.2.3.11

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$V = π (\frac{16384 \cdot 7 - 16384}{7})$

Passaggio 7.2.3.12

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 7.2.3.12.1

Moltiplica $16384$ per $7$ .

$V = π (\frac{114688 - 16384}{7})$

Passaggio 7.2.3.12.2

Sottrai $16384$ da $114688$ .

$V = π (\frac{98304}{7})$

Passaggio 7.2.3.13

$π$ e $\frac{98304}{7}$ .

$V = \frac{π \cdot 98304}{7}$

Passaggio 7.2.3.14

Sposta $98304$ alla sinistra di $π$ .

$V = \frac{98304 π}{7}$

Passaggio 8

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$V = \frac{98304 π}{7}$

Forma decimale:

$V = 44118.73203121 \dots$

Passaggio 9