Calcolo Esempi

$y = x - 1$ , $y = x^{2} - 4 x + 3$ , $y = 3$

Passaggio 1

Risolvi tramite sostituzione per trovare l'intersezione tra le curve.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Elimina i lati uguali di ciascuna equazione e combinale.

$x - 1 = x^{2} - 4 x + 3$

Passaggio 1.2

Risolvi $x - 1 = x^{2} - 4 x + 3$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $x$ si trova sul lato destro dell'equazione, inverti i lati così che si trovi sul lato sinistro.

$x^{2} - 4 x + 3 = x - 1 + y = x^{2} - 4 x + 3$

$y = 3$

Passaggio 1.2.2

Sposta tutti i termini contenenti $x$ sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Sottrai $x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} - 4 x + 3 - x = - 1 + y = x^{2} - 4 x + 3$

$y = 3$

Passaggio 1.2.2.2

Sottrai $x$ da $- 4 x$ .

$x^{2} - 5 x + 3 = - 1 + y = x^{2} - 4 x + 3$

$y = 3$

$x^{2} - 5 x + 3 = - 1 + y = x^{2} - 4 x + 3$

$y = 3$

Passaggio 1.2.3

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} - 5 x + 3 + 1 = 0 + y = x^{2} - 4 x + 3$

$y = 3$

Passaggio 1.2.4

Somma $3$ e $1$ .

$x^{2} - 5 x + 4 = 0 + y = x^{2} - 4 x + 3$

$y = 3$

Passaggio 1.2.5

Scomponi $x^{2} - 5 x + 4$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $4$ e la cui somma è $- 5$ .

$- 4, - 1 + y = x^{2} - 4 x + 3$

$y = 3$

Passaggio 1.2.5.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$(x - 4) (x - 1) = 0 + y = x^{2} - 4 x + 3$

$y = 3$

$(x - 4) (x - 1) = 0 + y = x^{2} - 4 x + 3$

$y = 3$

Passaggio 1.2.6

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 4 = 0$

$x - 1 = 0 + y = x^{2} - 4 x + 3$

$y = 3$

Passaggio 1.2.7

Imposta $x - 4$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.7.1

Imposta $x - 4$ uguale a $0$ .

$x - 4 = 0 + y = x^{2} - 4 x + 3$

$y = 3$

Passaggio 1.2.7.2

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 4 + y = x^{2} - 4 x + 3$

$y = 3$

$x = 4 + y = x^{2} - 4 x + 3$

$y = 3$

Passaggio 1.2.8

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.8.1

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ .

$x - 1 = 0 + y = x^{2} - 4 x + 3$

$y = 3$

Passaggio 1.2.8.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 1 + y = x^{2} - 4 x + 3$

$y = 3$

$x = 1 + y = x^{2} - 4 x + 3$

$y = 3$

Passaggio 1.2.9

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x - 4) (x - 1) = 0$ vera.

$x = 4, 1 + y = x^{2} - 4 x + 3$

$y = 3$

$x = 4, 1 + y = x^{2} - 4 x + 3$

$y = 3$

Passaggio 1.3

Risolvi $y$ quando $x = 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Sostituisci $x$ per $4$ .

$y = {(4)}^{2} - 4 \cdot 4 + 3 y = 3$

Passaggio 1.3.2

Sostituisci $4$ per $x$ in $y = {(4)}^{2} - 4 \cdot 4 + 3$ e risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Rimuovi le parentesi.

$y = 4^{2} - 4 \cdot 4 + 3$

Passaggio 1.3.2.2

Rimuovi le parentesi.

$y = {(4)}^{2} - 4 \cdot 4 + 3$

Passaggio 1.3.2.3

Semplifica ${(4)}^{2} - 4 \cdot 4 + 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.3.1.1

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$y = 16 - 4 \cdot 4 + 3$

Passaggio 1.3.2.3.1.2

Moltiplica $- 4$ per $4$ .

$y = 16 - 16 + 3$

Passaggio 1.3.2.3.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.3.2.1

Sottrai $16$ da $16$ .

$y = 0 + 3$

Passaggio 1.3.2.3.2.2

Somma $0$ e $3$ .

$y = 3$

Passaggio 1.4

Risolvi $y$ quando $x = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Sostituisci $x$ per $1$ .

$y = {(1)}^{2} - 4 \cdot 1 + 3 y = 3$

Passaggio 1.4.2

Sostituisci $1$ per $x$ in $y = {(1)}^{2} - 4 \cdot 1 + 3$ e risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.1

Rimuovi le parentesi.

$y = 1^{2} - 4 \cdot 1 + 3$

Passaggio 1.4.2.2

Rimuovi le parentesi.

$y = {(1)}^{2} - 4 \cdot 1 + 3$

Passaggio 1.4.2.3

Semplifica ${(1)}^{2} - 4 \cdot 1 + 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.3.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$y = 1 - 4 \cdot 1 + 3$

Passaggio 1.4.2.3.1.2

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$y = 1 - 4 + 3$

Passaggio 1.4.2.3.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.3.2.1

Sottrai $4$ da $1$ .

$y = - 3 + 3$

Passaggio 1.4.2.3.2.2

Somma $- 3$ e $3$ .

$y = 0$

Passaggio 1.5

La soluzione del sistema è l'insieme completo di coppie ordinate che sono soluzioni valide.

$(4, 3)$

$(1, 0)$

$(4, 3)$

$(1, 0)$

Passaggio 2

L'area della regione tra le curve è definita come l'integrale della curva superiore meno l'integrale della curva inferiore rispetto a ciascuna regione. Le regioni sono determinate dai punti di intersezione delle curve. Questa operazione si può svolgere algebricamente o graficamente.

$A r e a = \int_{1}^{4} x - 1 d x - \int_{1}^{4} x^{2} - 4 x + 3 d x$

Passaggio 3

Integra per trovare l'area tra $1$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Combina gli interi in un singolo intero.

$\int_{1}^{4} x - 1 - (x^{2} - 4 x + 3) d x$

Passaggio 3.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$x - 1 - x^{2} - (- 4 x) - 1 \cdot 3$

Passaggio 3.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Moltiplica $- 4$ per $- 1$ .

$x - 1 - x^{2} + 4 x - 1 \cdot 3$

Passaggio 3.2.2.2

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$x - 1 - x^{2} + 4 x - 3$

$\int_{1}^{4} x - 1 - x^{2} + 4 x - 3 d x$

Passaggio 3.3

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Somma $x$ e $4 x$ .

$5 x - 1 - x^{2} - 3$

Passaggio 3.3.2

Sottrai $3$ da $- 1$ .

$5 x - x^{2} - 4$

$\int_{1}^{4} 5 x - x^{2} - 4 d x$

Passaggio 3.4

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int_{1}^{4} 5 x d x + \int_{1}^{4} - x^{2} d x + \int_{1}^{4} - 4 d x$

Passaggio 3.5

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , sposta $5$ fuori dall'integrale.

$5 \int_{1}^{4} x d x + \int_{1}^{4} - x^{2} d x + \int_{1}^{4} - 4 d x$

Passaggio 3.6

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$5 (\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} - x^{2} d x + \int_{1}^{4} - 4 d x$

Passaggio 3.7

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$5 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} - x^{2} d x + \int_{1}^{4} - 4 d x$

Passaggio 3.8

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$5 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{4}) - \int_{1}^{4} x^{2} d x + \int_{1}^{4} - 4 d x$

Passaggio 3.9

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$5 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{4}) - (\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} - 4 d x$

Passaggio 3.10

$\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$5 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{4}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} - 4 d x$

Passaggio 3.11

Applica la regola costante.

$5 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{4}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{4}) + - 4 x]_{1}^{4}$

Passaggio 3.12

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.12.1

Calcola $\frac{x^{2}}{2}$ per $4$ e per $1$ .

$5 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{4}) + - 4 x]_{1}^{4}$

Passaggio 3.12.2

Calcola $\frac{x^{3}}{3}$ per $4$ e per $1$ .

$5 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + - 4 x]_{1}^{4}$

Passaggio 3.12.3

Calcola $- 4 x$ per $4$ e per $1$ .

$5 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

Passaggio 3.12.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.12.4.1

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$5 (\frac{16}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

Passaggio 3.12.4.2

Elimina il fattore comune di $16$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.12.4.2.1

Scomponi $2$ da $16$ .

$5 (\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

Passaggio 3.12.4.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.12.4.2.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$5 (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{1^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

Passaggio 3.12.4.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$5 (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{1^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

Passaggio 3.12.4.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$5 (\frac{8}{1} - \frac{1^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

Passaggio 3.12.4.2.2.4

Dividi $8$ per $1$ .

$5 (8 - \frac{1^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

Passaggio 3.12.4.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$5 (8 - \frac{1}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

Passaggio 3.12.4.4

Per scrivere $8$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$5 (8 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

Passaggio 3.12.4.5

$8$ e $\frac{2}{2}$ .

$5 (\frac{8 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

Passaggio 3.12.4.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$5 \frac{8 \cdot 2 - 1}{2} - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

Passaggio 3.12.4.7

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.12.4.7.1

Moltiplica $8$ per $2$ .

$5 \frac{16 - 1}{2} - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

Passaggio 3.12.4.7.2

Sottrai $1$ da $16$ .

$5 (\frac{15}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

Passaggio 3.12.4.8

$5$ e $\frac{15}{2}$ .

$\frac{5 \cdot 15}{2} - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

Passaggio 3.12.4.9

Moltiplica $5$ per $15$ .

$\frac{75}{2} - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

Passaggio 3.12.4.10

Eleva $4$ alla potenza di $3$ .

$\frac{75}{2} - (\frac{64}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

Passaggio 3.12.4.11

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{75}{2} - (\frac{64}{3} - \frac{1}{3}) + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

Passaggio 3.12.4.12

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{75}{2} - \frac{64 - 1}{3} + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

Passaggio 3.12.4.13

Sottrai $1$ da $64$ .

$\frac{75}{2} - \frac{63}{3} + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

Passaggio 3.12.4.14

Elimina il fattore comune di $63$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.12.4.14.1

Scomponi $3$ da $63$ .

$\frac{75}{2} - \frac{3 \cdot 21}{3} + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

Passaggio 3.12.4.14.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.12.4.14.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$\frac{75}{2} - \frac{3 \cdot 21}{3 (1)} + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

Passaggio 3.12.4.14.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{75}{2} - \frac{3 \cdot 21}{3 \cdot 1} + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

Passaggio 3.12.4.14.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{75}{2} - \frac{21}{1} + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

Passaggio 3.12.4.14.2.4

Dividi $21$ per $1$ .

$\frac{75}{2} - 1 \cdot 21 + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

Passaggio 3.12.4.15

Moltiplica $- 1$ per $21$ .

$\frac{75}{2} - 21 + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

Passaggio 3.12.4.16

Per scrivere $- 21$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{75}{2} - 21 \cdot \frac{2}{2} + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

Passaggio 3.12.4.17

$- 21$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{75}{2} + \frac{- 21 \cdot 2}{2} + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

Passaggio 3.12.4.18

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{75 - 21 \cdot 2}{2} + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

Passaggio 3.12.4.19

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.12.4.19.1

Moltiplica $- 21$ per $2$ .

$\frac{75 - 42}{2} + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

Passaggio 3.12.4.19.2

Sottrai $42$ da $75$ .

$\frac{33}{2} + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

Passaggio 3.12.4.20

Moltiplica $- 4$ per $4$ .

$\frac{33}{2} - 16 + 4 \cdot 1$

Passaggio 3.12.4.21

Moltiplica $4$ per $1$ .

$\frac{33}{2} - 16 + 4$

Passaggio 3.12.4.22

Somma $- 16$ e $4$ .

$\frac{33}{2} - 12$

Passaggio 3.12.4.23

Per scrivere $- 12$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{33}{2} - 12 \cdot \frac{2}{2}$

Passaggio 3.12.4.24

$- 12$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{33}{2} + \frac{- 12 \cdot 2}{2}$

Passaggio 3.12.4.25

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{33 - 12 \cdot 2}{2}$

Passaggio 3.12.4.26

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.12.4.26.1

Moltiplica $- 12$ per $2$ .

$\frac{33 - 24}{2}$

Passaggio 3.12.4.26.2

Sottrai $24$ da $33$ .

$\frac{9}{2}$

Passaggio 4