Calcolo Esempi

$y = x$ , $y = x^{3}$

Passaggio 1

Risolvi tramite sostituzione per trovare l'intersezione tra le curve.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Elimina i lati uguali di ciascuna equazione e combinale.

$x = x^{3}$

Passaggio 1.2

Risolvi $x = x^{3}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Sottrai $x^{3}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x - x^{3} = 0$

Passaggio 1.2.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Scomponi $x$ da $x - x^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$x - x^{3} = 0$

Passaggio 1.2.2.1.2

Scomponi $x$ da $x^{1}$ .

$x \cdot 1 - x^{3} = 0$

Passaggio 1.2.2.1.3

Scomponi $x$ da $- x^{3}$ .

$x \cdot 1 + x (- x^{2}) = 0$

Passaggio 1.2.2.1.4

Scomponi $x$ da $x \cdot 1 + x (- x^{2})$ .

$x (1 - x^{2}) = 0$

Passaggio 1.2.2.2

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$x (1^{2} - x^{2}) = 0$

Passaggio 1.2.2.3

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.3.1

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 1$ e $b = x$ .

$x ((1 + x) (1 - x)) = 0$

Passaggio 1.2.2.3.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$x (1 + x) (1 - x) = 0$

Passaggio 1.2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$1 + x = 0$

$1 - x = 0 + y = x^{3}$

Passaggio 1.2.4

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 1.2.5

Imposta $1 + x$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.1

Imposta $1 + x$ uguale a $0$ .

$1 + x = 0$

Passaggio 1.2.5.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 1$

Passaggio 1.2.6

Imposta $1 - x$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.1

Imposta $1 - x$ uguale a $0$ .

$1 - x = 0$

Passaggio 1.2.6.2

Risolvi $1 - x = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- x = - 1$

Passaggio 1.2.6.2.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.2.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = - 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 1.2.6.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.2.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 1.2.6.2.2.2.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 1.2.6.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.2.2.3.1

Dividi $- 1$ per $- 1$ .

$x = 1$

Passaggio 1.2.7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $x (1 + x) (1 - x) = 0$ vera.

$x = 0, - 1, 1$

Passaggio 1.3

Risolvi $y$ quando $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Sostituisci $x$ per $0$ .

$y = {(0)}^{3}$

Passaggio 1.3.2

Sostituisci $0$ per $x$ in $y = {(0)}^{3}$ e risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Rimuovi le parentesi.

$y = 0^{3}$

Passaggio 1.3.2.2

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$y = 0$

Passaggio 1.4

Risolvi $y$ quando $x = - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Sostituisci $x$ per $- 1$ .

$y = {(- 1)}^{3}$

Passaggio 1.4.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$y = - 1$

Passaggio 1.5

Risolvi $y$ quando $x = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Sostituisci $x$ per $1$ .

$y = {(1)}^{3}$

Passaggio 1.5.2

Sostituisci $1$ per $x$ in $y = {(1)}^{3}$ e risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.1

Rimuovi le parentesi.

$y = 1^{3}$

Passaggio 1.5.2.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$y = 1$

Passaggio 1.6

La soluzione del sistema è l'insieme completo di coppie ordinate che sono soluzioni valide.

$(0, 0)$

$(- 1, - 1)$

$(1, 1)$

$(0, 0)$

$(- 1, - 1)$

$(1, 1)$

Passaggio 2

L'area della regione tra le curve è definita come l'integrale della curva superiore meno l'integrale della curva inferiore rispetto a ciascuna regione. Le regioni sono determinate dai punti di intersezione delle curve. Questa operazione si può svolgere algebricamente o graficamente.

$A r e a = \int_{- 1}^{0} x^{3} d x - \int_{- 1}^{0} x d x$

Passaggio 3

Integra per trovare l'area tra $- 1$ e $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Combina gli interi in un singolo intero.

$\int_{- 1}^{0} x^{3} - (x) d x$

Passaggio 3.2

Moltiplica $- 1$ per $x$ .

$\int_{- 1}^{0} x^{3} - x d x$

Passaggio 3.3

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int_{- 1}^{0} x^{3} d x + \int_{- 1}^{0} - x d x$

Passaggio 3.4

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{4} x^{4}]_{- 1}^{0} + \int_{- 1}^{0} - x d x$

Passaggio 3.5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{4} x^{4}]_{- 1}^{0} - \int_{- 1}^{0} x d x$

Passaggio 3.6

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{4} x^{4}]_{- 1}^{0} - (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{0})$

Passaggio 3.7

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$\frac{1}{4} x^{4}]_{- 1}^{0} - (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{0})$

Passaggio 3.7.2

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.2.1

Calcola $\frac{1}{4} x^{4}$ per $0$ e per $- 1$ .

$(\frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{1}{4} {(- 1)}^{4} - (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{0})$

Passaggio 3.7.2.2

Calcola $\frac{x^{2}}{2}$ per $0$ e per $- 1$ .

$\frac{1}{4} \cdot 0^{4} - \frac{1}{4} {(- 1)}^{4} - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Passaggio 3.7.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.2.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot 0 - \frac{1}{4} {(- 1)}^{4} - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Passaggio 3.7.2.3.2

Moltiplica $\frac{1}{4}$ per $0$ .

$0 - \frac{1}{4} {(- 1)}^{4} - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Passaggio 3.7.2.3.3

Eleva $- 1$ alla potenza di $4$ .

$0 - \frac{1}{4} \cdot 1 - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Passaggio 3.7.2.3.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$0 - \frac{1}{4} - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Passaggio 3.7.2.3.5

Sottrai $\frac{1}{4}$ da $0$ .

$- \frac{1}{4} - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Passaggio 3.7.2.3.6

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$- \frac{1}{4} - (\frac{0}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Passaggio 3.7.2.3.7

Elimina il fattore comune di $0$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.2.3.7.1

Scomponi $2$ da $0$ .

$- \frac{1}{4} - (\frac{2 (0)}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Passaggio 3.7.2.3.7.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.2.3.7.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$- \frac{1}{4} - (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Passaggio 3.7.2.3.7.2.2

Elimina il fattore comune.

$- \frac{1}{4} - (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Passaggio 3.7.2.3.7.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{1}{4} - (\frac{0}{1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Passaggio 3.7.2.3.7.2.4

Dividi $0$ per $1$ .

$- \frac{1}{4} - (0 - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Passaggio 3.7.2.3.8

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$- \frac{1}{4} - (0 - \frac{1}{2})$

Passaggio 3.7.2.3.9

Sottrai $\frac{1}{2}$ da $0$ .

$- \frac{1}{4} - - \frac{1}{2}$

Passaggio 3.7.2.3.10

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$- \frac{1}{4} + 1 (\frac{1}{2})$

Passaggio 3.7.2.3.11

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $1$ .

$- \frac{1}{4} + \frac{1}{2}$

Passaggio 3.7.2.3.12

Per scrivere $\frac{1}{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Passaggio 3.7.2.3.13

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $4$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.2.3.13.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{4} + \frac{2}{2 \cdot 2}$

Passaggio 3.7.2.3.13.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$- \frac{1}{4} + \frac{2}{4}$

Passaggio 3.7.2.3.14

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- 1 + 2}{4}$

Passaggio 3.7.2.3.15

Somma $- 1$ e $2$ .

$\frac{1}{4}$

Passaggio 4

$A r e a = \int_{0}^{1} x d x - \int_{0}^{1} x^{3} d x$

Passaggio 5

Integra per trovare l'area tra $0$ e $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Combina gli interi in un singolo intero.

$\int_{0}^{1} x - (x^{3}) d x$

Passaggio 5.2

Moltiplica $- 1$ per $x^{3}$ .

$\int_{0}^{1} x - x^{3} d x$

Passaggio 5.3

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int_{0}^{1} x d x + \int_{0}^{1} - x^{3} d x$

Passaggio 5.4

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - x^{3} d x$

Passaggio 5.5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} x^{3} d x$

Passaggio 5.6

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1} - (\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{1})$

Passaggio 5.7

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.1

$\frac{1}{4}$ e $x^{4}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1} - (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{1})$

Passaggio 5.7.2

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.2.1

Calcola $\frac{1}{2} x^{2}$ per $1$ e per $0$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{1})$

Passaggio 5.7.2.2

Calcola $\frac{x^{4}}{4}$ per $1$ e per $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Passaggio 5.7.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.2.3.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{1}{2} \cdot 1 - \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Passaggio 5.7.2.3.2

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $1$ .

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Passaggio 5.7.2.3.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0 - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Passaggio 5.7.2.3.4

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$\frac{1}{2} + 0 (\frac{1}{2}) - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Passaggio 5.7.2.3.5

Moltiplica $0$ per $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} + 0 - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Passaggio 5.7.2.3.6

Somma $\frac{1}{2}$ e $0$ .

$\frac{1}{2} - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Passaggio 5.7.2.3.7

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{1}{2} - (\frac{1}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Passaggio 5.7.2.3.8

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{1}{2} - (\frac{1}{4} - \frac{0}{4})$

Passaggio 5.7.2.3.9

Elimina il fattore comune di $0$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.2.3.9.1

Scomponi $4$ da $0$ .

$\frac{1}{2} - (\frac{1}{4} - \frac{4 (0)}{4})$

Passaggio 5.7.2.3.9.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.2.3.9.2.1

Scomponi $4$ da $4$ .

$\frac{1}{2} - (\frac{1}{4} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1})$

Passaggio 5.7.2.3.9.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{2} - (\frac{1}{4} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1})$

Passaggio 5.7.2.3.9.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{2} - (\frac{1}{4} - \frac{0}{1})$

Passaggio 5.7.2.3.9.2.4

Dividi $0$ per $1$ .

$\frac{1}{2} - (\frac{1}{4} - 0)$

Passaggio 5.7.2.3.10

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$\frac{1}{2} - (\frac{1}{4} + 0)$

Passaggio 5.7.2.3.11

Somma $\frac{1}{4}$ e $0$ .

$\frac{1}{2} - \frac{1}{4}$

Passaggio 5.7.2.3.12

Per scrivere $\frac{1}{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{4}$

Passaggio 5.7.2.3.13

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $4$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.2.3.13.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{2 \cdot 2} - \frac{1}{4}$

Passaggio 5.7.2.3.13.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{2}{4} - \frac{1}{4}$

Passaggio 5.7.2.3.14

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2 - 1}{4}$

Passaggio 5.7.2.3.15

Sottrai $1$ da $2$ .

$\frac{1}{4}$

Passaggio 6

Somma le aree $\frac{1}{4} + \frac{1}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1 + 1}{4}$

Passaggio 6.2

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{2}{4}$

Passaggio 6.3

Elimina il fattore comune di $2$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{2 (1)}{4}$

Passaggio 6.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Passaggio 6.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Passaggio 6.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{2}$

Passaggio 7