Calcolo Esempi

$15 {(x^{2} + y^{2})}^{2} = 289 (x^{2} - y^{2})$ , $(4, 1)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima e risolvi $x = 4$ e $y = 1$ per trovare il coefficiente angolare della retta tangente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (15 {(x^{2} + y^{2})}^{2}) = \frac{d}{d x} (289 (x^{2} - y^{2}))$

Passaggio 1.2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $15$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $15 {(x^{2} + y^{2})}^{2}$ rispetto a $x$ è $15 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + y^{2})}^{2}]$ .

$15 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + y^{2})}^{2}]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x^{2} + y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $x^{2} + y^{2}$ .

$15 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Passaggio 1.2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$15 (2 u_{1} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Passaggio 1.2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $x^{2} + y^{2}$ .

$15 (2 (x^{2} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Passaggio 1.2.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Moltiplica $2$ per $15$ .

$30 ((x^{2} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Passaggio 1.2.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + y^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$30 (x^{2} + y^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Passaggio 1.2.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$30 (x^{2} + y^{2}) (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Passaggio 1.2.4

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $y$ .

$30 (x^{2} + y^{2}) (2 x + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 1.2.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$30 (x^{2} + y^{2}) (2 x + 2 u_{2} \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 1.2.4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $y$ .

$30 (x^{2} + y^{2}) (2 x + 2 y \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 1.2.5

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$30 (x^{2} + y^{2}) (2 x + 2 y y')$

Passaggio 1.2.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$(30 x^{2} + 30 y^{2}) (2 x + 2 y y')$

Passaggio 1.2.6.2

Riordina i fattori di $(30 x^{2} + 30 y^{2}) (2 x + 2 y y')$ .

$(2 x + 2 y y') (30 x^{2} + 30 y^{2})$

Passaggio 1.3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.1

Poiché $289$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $289 (x^{2} - y^{2})$ rispetto a $x$ è $289 \frac{d}{d x} [x^{2} - y^{2}]$ .

$289 \frac{d}{d x} [x^{2} - y^{2}]$

Passaggio 1.3.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - y^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$ .

$289 (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}])$

Passaggio 1.3.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$289 (2 x + \frac{d}{d x} [- y^{2}])$

Passaggio 1.3.1.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- y^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$289 (2 x - \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$289 (2 x - (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]))$

Passaggio 1.3.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$289 (2 x - (2 u \frac{d}{d x} [y]))$

Passaggio 1.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$289 (2 x - (2 y \frac{d}{d x} [y]))$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$289 (2 x - 2 (y \frac{d}{d x} [y]))$

Passaggio 1.3.4

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$289 (2 x - 2 y y')$

Passaggio 1.3.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$289 (2 x) + 289 (- 2 y y')$

Passaggio 1.3.5.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.5.2.1

Moltiplica $2$ per $289$ .

$578 x + 289 (- 2 y y')$

Passaggio 1.3.5.2.2

Moltiplica $- 2$ per $289$ .

$578 x - 578 y y'$

Passaggio 1.3.5.3

Riordina i termini.

$- 578 y y' + 578 x$

Passaggio 1.4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$(2 x + 2 y y') (30 x^{2} + 30 y^{2}) = - 578 y y' + 578 x$

Passaggio 1.5

Risolvi per $y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Semplifica $(2 x + 2 y y') (30 x^{2} + 30 y^{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1.1

Riscrivi.

$0 + 0 + (2 x + 2 y y') (30 x^{2} + 30 y^{2}) = - 578 y y' + 578 x$

Passaggio 1.5.1.2

Semplifica aggiungendo gli zeri.

$(2 x + 2 y y') (30 x^{2} + 30 y^{2}) = - 578 y y' + 578 x$

Passaggio 1.5.1.3

Espandi $(2 x + 2 y y') (30 x^{2} + 30 y^{2})$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 x (30 x^{2} + 30 y^{2}) + 2 y y' (30 x^{2} + 30 y^{2}) = - 578 y y' + 578 x$

Passaggio 1.5.1.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$2 x (30 x^{2}) + 2 x (30 y^{2}) + 2 y y' (30 x^{2} + 30 y^{2}) = - 578 y y' + 578 x$

Passaggio 1.5.1.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$2 x (30 x^{2}) + 2 x (30 y^{2}) + 2 y y' (30 x^{2}) + 2 y y' (30 y^{2}) = - 578 y y' + 578 x$

Passaggio 1.5.1.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1.4.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$2 \cdot 30 x \cdot x^{2} + 2 x (30 y^{2}) + 2 y y' (30 x^{2}) + 2 y y' (30 y^{2}) = - 578 y y' + 578 x$

Passaggio 1.5.1.4.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1.4.2.1

Sposta $x^{2}$ .

$2 \cdot 30 (x^{2} x) + 2 x (30 y^{2}) + 2 y y' (30 x^{2}) + 2 y y' (30 y^{2}) = - 578 y y' + 578 x$

Passaggio 1.5.1.4.2.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1.4.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$2 \cdot 30 (x^{2} x^{1}) + 2 x (30 y^{2}) + 2 y y' (30 x^{2}) + 2 y y' (30 y^{2}) = - 578 y y' + 578 x$

Passaggio 1.5.1.4.2.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2 \cdot 30 x^{2 + 1} + 2 x (30 y^{2}) + 2 y y' (30 x^{2}) + 2 y y' (30 y^{2}) = - 578 y y' + 578 x$

Passaggio 1.5.1.4.2.3

Somma $2$ e $1$ .

$2 \cdot 30 x^{3} + 2 x (30 y^{2}) + 2 y y' (30 x^{2}) + 2 y y' (30 y^{2}) = - 578 y y' + 578 x$

Passaggio 1.5.1.4.3

Moltiplica $2$ per $30$ .

$60 x^{3} + 2 x (30 y^{2}) + 2 y y' (30 x^{2}) + 2 y y' (30 y^{2}) = - 578 y y' + 578 x$

Passaggio 1.5.1.4.4

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$60 x^{3} + 2 \cdot 30 x y^{2} + 2 y y' (30 x^{2}) + 2 y y' (30 y^{2}) = - 578 y y' + 578 x$

Passaggio 1.5.1.4.5

Moltiplica $2$ per $30$ .

$60 x^{3} + 60 x y^{2} + 2 y y' (30 x^{2}) + 2 y y' (30 y^{2}) = - 578 y y' + 578 x$

Passaggio 1.5.1.4.6

Moltiplica $30$ per $2$ .

$60 x^{3} + 60 x y^{2} + 60 y y' x^{2} + 2 y y' (30 y^{2}) = - 578 y y' + 578 x$

Passaggio 1.5.1.4.7

Moltiplica $y$ per $y^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1.4.7.1

Sposta $y^{2}$ .

$60 x^{3} + 60 x y^{2} + 60 y y' x^{2} + 2 (y^{2} y) y' \cdot 30 = - 578 y y' + 578 x$

Passaggio 1.5.1.4.7.2

Moltiplica $y^{2}$ per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1.4.7.2.1

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$60 x^{3} + 60 x y^{2} + 60 y y' x^{2} + 2 (y^{2} y^{1}) y' \cdot 30 = - 578 y y' + 578 x$

Passaggio 1.5.1.4.7.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$60 x^{3} + 60 x y^{2} + 60 y y' x^{2} + 2 y^{2 + 1} y' \cdot 30 = - 578 y y' + 578 x$

Passaggio 1.5.1.4.7.3

Somma $2$ e $1$ .

$60 x^{3} + 60 x y^{2} + 60 y y' x^{2} + 2 y^{3} y' \cdot 30 = - 578 y y' + 578 x$

Passaggio 1.5.1.4.8

Moltiplica $30$ per $2$ .

$60 x^{3} + 60 x y^{2} + 60 y y' x^{2} + 60 y^{3} y' = - 578 y y' + 578 x$

Passaggio 1.5.2

Somma $578 y y'$ a entrambi i lati dell'equazione.

$60 x^{3} + 60 x y^{2} + 60 y y' x^{2} + 60 y^{3} y' + 578 y y' = 578 x$

Passaggio 1.5.3

Sposta tutti i termini non contenenti $y'$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.1

Sottrai $60 x^{3}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$60 x y^{2} + 60 y y' x^{2} + 60 y^{3} y' + 578 y y' = 578 x - 60 x^{3}$

Passaggio 1.5.3.2

Sottrai $60 x y^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$60 y y' x^{2} + 60 y^{3} y' + 578 y y' = 578 x - 60 x^{3} - 60 x y^{2}$

Passaggio 1.5.4

Scomponi $2 y y'$ da $60 y y' x^{2} + 60 y^{3} y' + 578 y y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.1

Scomponi $2 y y'$ da $60 y y' x^{2}$ .

$2 y y' (30 x^{2}) + 60 y^{3} y' + 578 y y' = 578 x - 60 x^{3} - 60 x y^{2}$

Passaggio 1.5.4.2

Scomponi $2 y y'$ da $60 y^{3} y'$ .

$2 y y' (30 x^{2}) + 2 y y' (30 y^{2}) + 578 y y' = 578 x - 60 x^{3} - 60 x y^{2}$

Passaggio 1.5.4.3

Scomponi $2 y y'$ da $578 y y'$ .

$2 y y' (30 x^{2}) + 2 y y' (30 y^{2}) + 2 y y' \cdot 289 = 578 x - 60 x^{3} - 60 x y^{2}$

Passaggio 1.5.4.4

Scomponi $2 y y'$ da $2 y y' (30 x^{2}) + 2 y y' (30 y^{2})$ .

$2 y y' (30 x^{2} + 30 y^{2}) + 2 y y' \cdot 289 = 578 x - 60 x^{3} - 60 x y^{2}$

Passaggio 1.5.4.5

Scomponi $2 y y'$ da $2 y y' (30 x^{2} + 30 y^{2}) + 2 y y' \cdot 289$ .

$2 y y' (30 x^{2} + 30 y^{2} + 289) = 578 x - 60 x^{3} - 60 x y^{2}$

Passaggio 1.5.5

Dividi per $2 y (30 x^{2} + 30 y^{2} + 289)$ ciascun termine in $2 y y' (30 x^{2} + 30 y^{2} + 289) = 578 x - 60 x^{3} - 60 x y^{2}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.5.1

Dividi per $2 y (30 x^{2} + 30 y^{2} + 289)$ ciascun termine in $2 y y' (30 x^{2} + 30 y^{2} + 289) = 578 x - 60 x^{3} - 60 x y^{2}$ .

$\frac{2 y y' (30 x^{2} + 30 y^{2} + 289)}{2 y (30 x^{2} + 30 y^{2} + 289)} = \frac{578 x}{2 y (30 x^{2} + 30 y^{2} + 289)} + \frac{- 60 x^{3}}{2 y (30 x^{2} + 30 y^{2} + 289)} + \frac{- 60 x y^{2}}{2 y (30 x^{2} + 30 y^{2} + 289)}$

Passaggio 1.5.5.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.5.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.5.2.1.1

Elimina il fattore comune.

Passaggio 1.5.5.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y y' (30 x^{2} + 30 y^{2} + 289)}{y (30 x^{2} + 30 y^{2} + 289)} = \frac{578 x}{2 y (30 x^{2} + 30 y^{2} + 289)} + \frac{- 60 x^{3}}{2 y (30 x^{2} + 30 y^{2} + 289)} + \frac{- 60 x y^{2}}{2 y (30 x^{2} + 30 y^{2} + 289)}$

Passaggio 1.5.5.2.2

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.5.2.2.1

Elimina il fattore comune.

Passaggio 1.5.5.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y' (30 x^{2} + 30 y^{2} + 289)}{30 x^{2} + 30 y^{2} + 289} = \frac{578 x}{2 y (30 x^{2} + 30 y^{2} + 289)} + \frac{- 60 x^{3}}{2 y (30 x^{2} + 30 y^{2} + 289)} + \frac{- 60 x y^{2}}{2 y (30 x^{2} + 30 y^{2} + 289)}$

Passaggio 1.5.5.2.3

Elimina il fattore comune di $30 x^{2} + 30 y^{2} + 289$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.5.2.3.1

Elimina il fattore comune.

Passaggio 1.5.5.2.3.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{578 x}{2 y (30 x^{2} + 30 y^{2} + 289)} + \frac{- 60 x^{3}}{2 y (30 x^{2} + 30 y^{2} + 289)} + \frac{- 60 x y^{2}}{2 y (30 x^{2} + 30 y^{2} + 289)}$

Passaggio 1.5.5.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.5.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.5.3.1.1

Elimina il fattore comune di $578$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.5.3.1.1.1

Scomponi $2$ da $578 x$ .

$y' = \frac{2 (289 x)}{2 y (30 x^{2} + 30 y^{2} + 289)} + \frac{- 60 x^{3}}{2 y (30 x^{2} + 30 y^{2} + 289)} + \frac{- 60 x y^{2}}{2 y (30 x^{2} + 30 y^{2} + 289)}$

Passaggio 1.5.5.3.1.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.5.3.1.1.2.1

Scomponi $2$ da $2 y (30 x^{2} + 30 y^{2} + 289)$ .

$y' = \frac{2 (289 x)}{2 (y (30 x^{2} + 30 y^{2} + 289))} + \frac{- 60 x^{3}}{2 y (30 x^{2} + 30 y^{2} + 289)} + \frac{- 60 x y^{2}}{2 y (30 x^{2} + 30 y^{2} + 289)}$

Passaggio 1.5.5.3.1.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{2 (289 x)}{2 (y (30 x^{2} + 30 y^{2} + 289))} + \frac{- 60 x^{3}}{2 y (30 x^{2} + 30 y^{2} + 289)} + \frac{- 60 x y^{2}}{2 y (30 x^{2} + 30 y^{2} + 289)}$

Passaggio 1.5.5.3.1.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{289 x}{y (30 x^{2} + 30 y^{2} + 289)} + \frac{- 60 x^{3}}{2 y (30 x^{2} + 30 y^{2} + 289)} + \frac{- 60 x y^{2}}{2 y (30 x^{2} + 30 y^{2} + 289)}$

Passaggio 1.5.5.3.1.2

Elimina il fattore comune di $- 60$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.5.3.1.2.1

Scomponi $2$ da $- 60 x^{3}$ .

$y' = \frac{289 x}{y (30 x^{2} + 30 y^{2} + 289)} + \frac{2 (- 30 x^{3})}{2 y (30 x^{2} + 30 y^{2} + 289)} + \frac{- 60 x y^{2}}{2 y (30 x^{2} + 30 y^{2} + 289)}$

Passaggio 1.5.5.3.1.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.5.3.1.2.2.1

Scomponi $2$ da $2 y (30 x^{2} + 30 y^{2} + 289)$ .

$y' = \frac{289 x}{y (30 x^{2} + 30 y^{2} + 289)} + \frac{2 (- 30 x^{3})}{2 (y (30 x^{2} + 30 y^{2} + 289))} + \frac{- 60 x y^{2}}{2 y (30 x^{2} + 30 y^{2} + 289)}$

Passaggio 1.5.5.3.1.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{289 x}{y (30 x^{2} + 30 y^{2} + 289)} + \frac{2 (- 30 x^{3})}{2 (y (30 x^{2} + 30 y^{2} + 289))} + \frac{- 60 x y^{2}}{2 y (30 x^{2} + 30 y^{2} + 289)}$

Passaggio 1.5.5.3.1.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{289 x}{y (30 x^{2} + 30 y^{2} + 289)} + \frac{- 30 x^{3}}{y (30 x^{2} + 30 y^{2} + 289)} + \frac{- 60 x y^{2}}{2 y (30 x^{2} + 30 y^{2} + 289)}$

Passaggio 1.5.5.3.1.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = \frac{289 x}{y (30 x^{2} + 30 y^{2} + 289)} - \frac{30 x^{3}}{y (30 x^{2} + 30 y^{2} + 289)} + \frac{- 60 x y^{2}}{2 y (30 x^{2} + 30 y^{2} + 289)}$

Passaggio 1.5.5.3.1.4

Elimina il fattore comune di $- 60$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.5.3.1.4.1

Scomponi $2$ da $- 60 x y^{2}$ .

$y' = \frac{289 x}{y (30 x^{2} + 30 y^{2} + 289)} - \frac{30 x^{3}}{y (30 x^{2} + 30 y^{2} + 289)} + \frac{2 (- 30 x y^{2})}{2 y (30 x^{2} + 30 y^{2} + 289)}$

Passaggio 1.5.5.3.1.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.5.3.1.4.2.1

Scomponi $2$ da $2 y (30 x^{2} + 30 y^{2} + 289)$ .

$y' = \frac{289 x}{y (30 x^{2} + 30 y^{2} + 289)} - \frac{30 x^{3}}{y (30 x^{2} + 30 y^{2} + 289)} + \frac{2 (- 30 x y^{2})}{2 (y (30 x^{2} + 30 y^{2} + 289))}$

Passaggio 1.5.5.3.1.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{289 x}{y (30 x^{2} + 30 y^{2} + 289)} - \frac{30 x^{3}}{y (30 x^{2} + 30 y^{2} + 289)} + \frac{2 (- 30 x y^{2})}{2 (y (30 x^{2} + 30 y^{2} + 289))}$

Passaggio 1.5.5.3.1.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{289 x}{y (30 x^{2} + 30 y^{2} + 289)} - \frac{30 x^{3}}{y (30 x^{2} + 30 y^{2} + 289)} + \frac{- 30 x y^{2}}{y (30 x^{2} + 30 y^{2} + 289)}$

Passaggio 1.5.5.3.1.5

Elimina il fattore comune di $y^{2}$ e $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.5.3.1.5.1

Scomponi $y$ da $- 30 x y^{2}$ .

$y' = \frac{289 x}{y (30 x^{2} + 30 y^{2} + 289)} - \frac{30 x^{3}}{y (30 x^{2} + 30 y^{2} + 289)} + \frac{y (- 30 x y)}{y (30 x^{2} + 30 y^{2} + 289)}$

Passaggio 1.5.5.3.1.5.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.5.3.1.5.2.1

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{289 x}{y (30 x^{2} + 30 y^{2} + 289)} - \frac{30 x^{3}}{y (30 x^{2} + 30 y^{2} + 289)} + \frac{y (- 30 x y)}{y (30 x^{2} + 30 y^{2} + 289)}$

Passaggio 1.5.5.3.1.5.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{289 x}{y (30 x^{2} + 30 y^{2} + 289)} - \frac{30 x^{3}}{y (30 x^{2} + 30 y^{2} + 289)} + \frac{- 30 x y}{30 x^{2} + 30 y^{2} + 289}$

Passaggio 1.5.5.3.1.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = \frac{289 x}{y (30 x^{2} + 30 y^{2} + 289)} - \frac{30 x^{3}}{y (30 x^{2} + 30 y^{2} + 289)} - \frac{30 x y}{30 x^{2} + 30 y^{2} + 289}$

Passaggio 1.5.5.3.2

Per scrivere $- \frac{30 x y}{30 x^{2} + 30 y^{2} + 289}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{y}{y}$ .

$y' = - \frac{30 x^{3}}{y (30 x^{2} + 30 y^{2} + 289)} + \frac{289 x}{y (30 x^{2} + 30 y^{2} + 289)} - \frac{30 x y}{30 x^{2} + 30 y^{2} + 289} \cdot \frac{y}{y}$

Passaggio 1.5.5.3.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $y (30 x^{2} + 30 y^{2} + 289)$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.5.3.3.1

Moltiplica $\frac{30 x y}{30 x^{2} + 30 y^{2} + 289}$ per $\frac{y}{y}$ .

$y' = - \frac{30 x^{3}}{y (30 x^{2} + 30 y^{2} + 289)} + \frac{289 x}{y (30 x^{2} + 30 y^{2} + 289)} - \frac{30 x y \cdot y}{(30 x^{2} + 30 y^{2} + 289) y}$

Passaggio 1.5.5.3.3.2

Riordina i fattori di $(30 x^{2} + 30 y^{2} + 289) y$ .

$y' = - \frac{30 x^{3}}{y (30 x^{2} + 30 y^{2} + 289)} + \frac{289 x}{y (30 x^{2} + 30 y^{2} + 289)} - \frac{30 x y \cdot y}{y (30 x^{2} + 30 y^{2} + 289)}$

Passaggio 1.5.5.3.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = - \frac{30 x^{3}}{y (30 x^{2} + 30 y^{2} + 289)} + \frac{289 x - 30 x y \cdot y}{y (30 x^{2} + 30 y^{2} + 289)}$

Passaggio 1.5.5.3.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = \frac{- 30 x^{3} + 289 x - 30 x y \cdot y}{y (30 x^{2} + 30 y^{2} + 289)}$

Passaggio 1.5.5.3.6

Moltiplica $y$ per $y$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.5.3.6.1

Sposta $y$ .

$y' = \frac{- 30 x^{3} + 289 x - 30 x (y \cdot y)}{y (30 x^{2} + 30 y^{2} + 289)}$

Passaggio 1.5.5.3.6.2

Moltiplica $y$ per $y$ .

$y' = \frac{- 30 x^{3} + 289 x - 30 x y^{2}}{y (30 x^{2} + 30 y^{2} + 289)}$

Passaggio 1.5.5.3.7

Scomponi $x$ da $- 30 x^{3} + 289 x - 30 x y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.5.3.7.1

Scomponi $x$ da $- 30 x^{3}$ .

$y' = \frac{x (- 30 x^{2}) + 289 x - 30 x y^{2}}{y (30 x^{2} + 30 y^{2} + 289)}$

Passaggio 1.5.5.3.7.2

Scomponi $x$ da $289 x$ .

$y' = \frac{x (- 30 x^{2}) + x \cdot 289 - 30 x y^{2}}{y (30 x^{2} + 30 y^{2} + 289)}$

Passaggio 1.5.5.3.7.3

Scomponi $x$ da $- 30 x y^{2}$ .

$y' = \frac{x (- 30 x^{2}) + x \cdot 289 + x (- 30 y^{2})}{y (30 x^{2} + 30 y^{2} + 289)}$

Passaggio 1.5.5.3.7.4

Scomponi $x$ da $x (- 30 x^{2}) + x \cdot 289$ .

$y' = \frac{x (- 30 x^{2} + 289) + x (- 30 y^{2})}{y (30 x^{2} + 30 y^{2} + 289)}$

Passaggio 1.5.5.3.7.5

Scomponi $x$ da $x (- 30 x^{2} + 289) + x (- 30 y^{2})$ .

$y' = \frac{x (- 30 x^{2} + 289 - 30 y^{2})}{y (30 x^{2} + 30 y^{2} + 289)}$

Passaggio 1.5.5.3.8

Scomponi $- 1$ da $- 30 x^{2}$ .

$y' = \frac{x (- (30 x^{2}) + 289 - 30 y^{2})}{y (30 x^{2} + 30 y^{2} + 289)}$

Passaggio 1.5.5.3.9

Riscrivi $289$ come $- 1 (- 289)$ .

$y' = \frac{x (- (30 x^{2}) - 1 (- 289) - 30 y^{2})}{y (30 x^{2} + 30 y^{2} + 289)}$

Passaggio 1.5.5.3.10

Scomponi $- 1$ da $- (30 x^{2}) - 1 (- 289)$ .

$y' = \frac{x (- (30 x^{2} - 289) - 30 y^{2})}{y (30 x^{2} + 30 y^{2} + 289)}$

Passaggio 1.5.5.3.11

Scomponi $- 1$ da $- 30 y^{2}$ .

$y' = \frac{x (- (30 x^{2} - 289) - (30 y^{2}))}{y (30 x^{2} + 30 y^{2} + 289)}$

Passaggio 1.5.5.3.12

Scomponi $- 1$ da $- (30 x^{2} - 289) - (30 y^{2})$ .

$y' = \frac{x (- (30 x^{2} - 289 + 30 y^{2}))}{y (30 x^{2} + 30 y^{2} + 289)}$

Passaggio 1.5.5.3.13

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.5.3.13.1

Riscrivi $- (30 x^{2} - 289 + 30 y^{2})$ come $- 1 (30 x^{2} - 289 + 30 y^{2})$ .

$y' = \frac{x (- 1 (30 x^{2} - 289 + 30 y^{2}))}{y (30 x^{2} + 30 y^{2} + 289)}$

Passaggio 1.5.5.3.13.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{x (30 x^{2} - 289 + 30 y^{2})}{y (30 x^{2} + 30 y^{2} + 289)}$

Passaggio 1.6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x (30 x^{2} - 289 + 30 y^{2})}{y (30 x^{2} + 30 y^{2} + 289)}$

Passaggio 1.7

Calcola con $x = 4$ e $y = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $4$ nell'espressione.

$- \frac{(4) (30 {(4)}^{2} - 289 + 30 y^{2})}{y (30 {(4)}^{2} + 30 y^{2} + 289)}$

Passaggio 1.7.2

Sostituisci la variabile $y$ con $1$ nell'espressione.

$- \frac{(4) (30 {(4)}^{2} - 289 + 30 {(1)}^{2})}{(1) (30 {(4)}^{2} + 30 {(1)}^{2} + 289)}$

Passaggio 1.7.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.3.1

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$- \frac{4 (30 \cdot 16 - 289 + 30 \cdot 1^{2})}{1 (30 \cdot 4^{2} + 30 \cdot 1^{2} + 289)}$

Passaggio 1.7.3.2

Moltiplica $30$ per $16$ .

$- \frac{4 (480 - 289 + 30 \cdot 1^{2})}{1 (30 \cdot 4^{2} + 30 \cdot 1^{2} + 289)}$

Passaggio 1.7.3.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$- \frac{4 (480 - 289 + 30 \cdot 1)}{1 (30 \cdot 4^{2} + 30 \cdot 1^{2} + 289)}$

Passaggio 1.7.3.4

Moltiplica $30$ per $1$ .

$- \frac{4 (480 - 289 + 30)}{1 (30 \cdot 4^{2} + 30 \cdot 1^{2} + 289)}$

Passaggio 1.7.3.5

Sottrai $289$ da $480$ .

$- \frac{4 (191 + 30)}{1 (30 \cdot 4^{2} + 30 \cdot 1^{2} + 289)}$

Passaggio 1.7.3.6

Somma $191$ e $30$ .

$- \frac{4 \cdot 221}{1 (30 \cdot 4^{2} + 30 \cdot 1^{2} + 289)}$

Passaggio 1.7.4

Moltiplica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.4.1

Moltiplica $30 \cdot 4^{2} + 30 \cdot 1^{2} + 289$ per $1$ .

$- \frac{4 \cdot 221}{30 \cdot 4^{2} + 30 \cdot 1^{2} + 289}$

Passaggio 1.7.4.2

Moltiplica $4$ per $221$ .

$- \frac{884}{30 \cdot 4^{2} + 30 \cdot 1^{2} + 289}$

Passaggio 1.7.5

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.5.1

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$- \frac{884}{30 \cdot 16 + 30 \cdot 1^{2} + 289}$

Passaggio 1.7.5.2

Moltiplica $30$ per $16$ .

$- \frac{884}{480 + 30 \cdot 1^{2} + 289}$

Passaggio 1.7.5.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$- \frac{884}{480 + 30 \cdot 1 + 289}$

Passaggio 1.7.5.4

Moltiplica $30$ per $1$ .

$- \frac{884}{480 + 30 + 289}$

Passaggio 1.7.5.5

Somma $480$ e $30$ .

$- \frac{884}{510 + 289}$

Passaggio 1.7.5.6

Somma $510$ e $289$ .

$- \frac{884}{799}$

Passaggio 1.7.6

Elimina il fattore comune di $884$ e $799$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.6.1

Scomponi $17$ da $884$ .

$- \frac{17 (52)}{799}$

Passaggio 1.7.6.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.6.2.1

Scomponi $17$ da $799$ .

$- \frac{17 \cdot 52}{17 \cdot 47}$

Passaggio 1.7.6.2.2

Elimina il fattore comune.

$- \frac{17 \cdot 52}{17 \cdot 47}$

Passaggio 1.7.6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{52}{47}$

Passaggio 2

Inserisci i valori del coefficiente angolare e del punto nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare e risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sostituisci il coefficiente angolare $- \frac{52}{47}$ e un punto dato $(4, 1)$ a $x_{1}$ e $y_{1}$ nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , che è derivata dall'equazione del coefficiente angolare $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = - \frac{52}{47} \cdot (x - (4))$

Passaggio 2.2

Semplifica l'equazione e mantienila nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare.

$y - 1 = - \frac{52}{47} \cdot (x - 4)$

Passaggio 2.3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Semplifica $- \frac{52}{47} \cdot (x - 4)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Riscrivi.

$y - 1 = 0 + 0 - \frac{52}{47} \cdot (x - 4)$

Passaggio 2.3.1.2

Semplifica aggiungendo gli zeri.

$y - 1 = - \frac{52}{47} \cdot (x - 4)$

Passaggio 2.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y - 1 = - \frac{52}{47} x - \frac{52}{47} \cdot - 4$

Passaggio 2.3.1.4

$x$ e $\frac{52}{47}$ .

$y - 1 = - \frac{x \cdot 52}{47} - \frac{52}{47} \cdot - 4$

Passaggio 2.3.1.5

Moltiplica $- \frac{52}{47} \cdot - 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.5.1

Moltiplica $- 4$ per $- 1$ .

$y - 1 = - \frac{x \cdot 52}{47} + 4 (\frac{52}{47})$

Passaggio 2.3.1.5.2

$4$ e $\frac{52}{47}$ .

$y - 1 = - \frac{x \cdot 52}{47} + \frac{4 \cdot 52}{47}$

Passaggio 2.3.1.5.3

Moltiplica $4$ per $52$ .

$y - 1 = - \frac{x \cdot 52}{47} + \frac{208}{47}$

Passaggio 2.3.1.6

Sposta $52$ alla sinistra di $x$ .

$y - 1 = - \frac{52 x}{47} + \frac{208}{47}$

Passaggio 2.3.2

Sposta tutti i termini non contenenti $y$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = - \frac{52 x}{47} + \frac{208}{47} + 1$

Passaggio 2.3.2.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$y = - \frac{52 x}{47} + \frac{208}{47} + \frac{47}{47}$

Passaggio 2.3.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = - \frac{52 x}{47} + \frac{208 + 47}{47}$

Passaggio 2.3.2.4

Somma $208$ e $47$ .

$y = - \frac{52 x}{47} + \frac{255}{47}$

Passaggio 2.3.3

Scrivi in forma $y = m x + b$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Riordina i termini.

$y = - (\frac{52}{47} x) + \frac{255}{47}$

Passaggio 2.3.3.2

Rimuovi le parentesi.

$y = - \frac{52}{47} x + \frac{255}{47}$

Passaggio 3