Calcolo Esempi

$4 y^{2} - \sqrt{x} = 12$ , $(16, 2)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima e risolvi $x = 16$ e $y = 2$ per trovare il coefficiente angolare della linea tangente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$4 y^{2} - x^{\frac{1}{2}} = 12$

Passaggio 1.2

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (4 y^{2} - x^{\frac{1}{2}}) = \frac{d}{d x} (12)$

Passaggio 1.3

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 y^{2} - x^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 1.3.2

Calcola $\frac{d}{d x} [4 y^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 y^{2}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 1.3.2.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$4 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 1.3.2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$4 (2 u \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 1.3.2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$4 (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 1.3.2.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$4 (2 y y') + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 1.3.2.4

Moltiplica $2$ per $4$ .

$8 y y' + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 1.3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$8 y y' - \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 1.3.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$8 y y' - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Passaggio 1.3.3.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$8 y y' - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Passaggio 1.3.3.4

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$8 y y' - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Passaggio 1.3.3.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$8 y y' - (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Passaggio 1.3.3.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.6.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$8 y y' - (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Passaggio 1.3.3.6.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$8 y y' - (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Passaggio 1.3.3.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$8 y y' - (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Passaggio 1.3.3.8

$\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$8 y y' - \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Passaggio 1.3.3.9

Sposta $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$8 y y' - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.4

Poiché $12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $12$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0$

Passaggio 1.5

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$8 y y' - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Passaggio 1.6

Risolvi per $y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.1

Somma $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$8 y y' = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.6.2

Dividi per $8 y$ ciascun termine in $8 y y' = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.2.1

Dividi per $8 y$ ciascun termine in $8 y y' = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{8 y y'}{8 y} = \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{8 y}$

Passaggio 1.6.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.2.2.1

Elimina il fattore comune di $8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{8 y y'}{8 y} = \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{8 y}$

Passaggio 1.6.2.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y y'}{y} = \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{8 y}$

Passaggio 1.6.2.2.2

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.2.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y y'}{y} = \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{8 y}$

Passaggio 1.6.2.2.2.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{8 y}$

Passaggio 1.6.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.2.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$y' = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{8 y}$

Passaggio 1.6.2.3.2

Combina.

$y' = \frac{1 \cdot 1}{2 x^{\frac{1}{2}} (8 y)}$

Passaggio 1.6.2.3.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.2.3.3.1

Moltiplica $1$ per $1$ .

$y' = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} \cdot 8 y}$

Passaggio 1.6.2.3.3.2

Moltiplica $8$ per $2$ .

$y' = \frac{1}{16 x^{\frac{1}{2}} y}$

Passaggio 1.6.2.3.3.3

Riordina i fattori in $\frac{1}{16 x^{\frac{1}{2}} y}$ .

$y' = \frac{1}{16 y x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.7

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{16 y x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.8

Calcola con $x = 16$ e $y = 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.1

Sostituisci la variabile $x$ con $16$ nell'espressione.

$\frac{1}{16 y {(16)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.8.2

Sostituisci la variabile $y$ con $2$ nell'espressione.

$\frac{1}{16 (2) {(16)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.8.3

Moltiplica $16$ per ${(16)}^{\frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.3.1

Sposta ${(16)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{{(16)}^{\frac{1}{2}} \cdot 16 \cdot 2}$

Passaggio 1.8.3.2

Moltiplica ${(16)}^{\frac{1}{2}}$ per $16$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.3.2.1

Eleva $16$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{{(16)}^{\frac{1}{2}} \cdot 16^{1} \cdot 2}$

Passaggio 1.8.3.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{16^{\frac{1}{2} + 1} \cdot 2}$

Passaggio 1.8.3.3

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{1}{16^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} \cdot 2}$

Passaggio 1.8.3.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{16^{\frac{1 + 2}{2}} \cdot 2}$

Passaggio 1.8.3.5

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{1}{16^{\frac{3}{2}} \cdot 2}$

Passaggio 1.8.4

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.4.1

Riscrivi $16$ come $2^{4}$ .

$\frac{1}{{(2^{4})}^{\frac{3}{2}} \cdot 2}$

Passaggio 1.8.4.2

Moltiplica gli esponenti in ${(2^{4})}^{\frac{3}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.4.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2^{4 (\frac{3}{2})} \cdot 2}$

Passaggio 1.8.4.2.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.4.2.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$\frac{1}{2^{2 (2) \frac{3}{2}} \cdot 2}$

Passaggio 1.8.4.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{2^{2 \cdot 2 \frac{3}{2}} \cdot 2}$

Passaggio 1.8.4.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{2^{2 \cdot 3} \cdot 2}$

Passaggio 1.8.4.2.3

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\frac{1}{2^{6} \cdot 2}$

Passaggio 1.8.4.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{2^{6 + 1}}$

Passaggio 1.8.4.4

Somma $6$ e $1$ .

$\frac{1}{2^{7}}$

Passaggio 1.8.5

Eleva $2$ alla potenza di $7$ .

$\frac{1}{128}$

Passaggio 2

Inserisci i valori del coefficiente angolare e del punto nella formula di punto-pendenza e risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Usa il coefficiente angolare $\frac{1}{128}$ e un punto dato $(16, 2)$ da inserire al posto di $x_{1}$ e $y_{1}$ nell'equazione della retta passante per due punti $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , che è derivata dall'equazione della pendenza $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (2) = \frac{1}{128} \cdot (x - (16))$

Passaggio 2.2

Semplifica l'equazione e mantienila in forma di punto-pendenza.

$y - 2 = \frac{1}{128} \cdot (x - 16)$

Passaggio 2.3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Semplifica $\frac{1}{128} \cdot (x - 16)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Riscrivi.

$y - 2 = 0 + 0 + \frac{1}{128} \cdot (x - 16)$

Passaggio 2.3.1.2

Semplifica aggiungendo gli zeri.

$y - 2 = \frac{1}{128} \cdot (x - 16)$

Passaggio 2.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y - 2 = \frac{1}{128} x + \frac{1}{128} \cdot - 16$

Passaggio 2.3.1.4

$\frac{1}{128}$ e $x$ .

$y - 2 = \frac{x}{128} + \frac{1}{128} \cdot - 16$

Passaggio 2.3.1.5

Elimina il fattore comune di $16$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.5.1

Scomponi $16$ da $128$ .

$y - 2 = \frac{x}{128} + \frac{1}{16 (8)} \cdot - 16$

Passaggio 2.3.1.5.2

Scomponi $16$ da $- 16$ .

$y - 2 = \frac{x}{128} + \frac{1}{16 \cdot 8} \cdot (16 \cdot - 1)$

Passaggio 2.3.1.5.3

Elimina il fattore comune.

$y - 2 = \frac{x}{128} + \frac{1}{16 \cdot 8} \cdot (16 \cdot - 1)$

Passaggio 2.3.1.5.4

Riscrivi l'espressione.

$y - 2 = \frac{x}{128} + \frac{1}{8} \cdot - 1$

Passaggio 2.3.1.6

$\frac{1}{8}$ e $- 1$ .

$y - 2 = \frac{x}{128} + \frac{- 1}{8}$

Passaggio 2.3.1.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y - 2 = \frac{x}{128} - \frac{1}{8}$

Passaggio 2.3.2

Sposta tutti i termini non contenenti $y$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = \frac{x}{128} - \frac{1}{8} + 2$

Passaggio 2.3.2.2

Per scrivere $2$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{8}{8}$ .

$y = \frac{x}{128} - \frac{1}{8} + 2 \cdot \frac{8}{8}$

Passaggio 2.3.2.3

$2$ e $\frac{8}{8}$ .

$y = \frac{x}{128} - \frac{1}{8} + \frac{2 \cdot 8}{8}$

Passaggio 2.3.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \frac{x}{128} + \frac{- 1 + 2 \cdot 8}{8}$

Passaggio 2.3.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.5.1

Moltiplica $2$ per $8$ .

$y = \frac{x}{128} + \frac{- 1 + 16}{8}$

Passaggio 2.3.2.5.2

Somma $- 1$ e $16$ .

$y = \frac{x}{128} + \frac{15}{8}$

Passaggio 2.3.3

Riordina i termini.

$y = \frac{1}{128} x + \frac{15}{8}$

Passaggio 3