Calcolo Esempi

$y = {(x^{3} - 16 x)}^{10}$ , $(4, 0)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima e risolvi $x = 4$ e $y = 0$ per trovare il coefficiente angolare della linea tangente.

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Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{10}$ e $g (x) = x^{3} - 16 x$ .

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Passaggio 1.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{3} - 16 x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{10}] \frac{d}{d x} [x^{3} - 16 x]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 10$ .

$10 u^{9} \frac{d}{d x} [x^{3} - 16 x]$

Passaggio 1.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{3} - 16 x$ .

$10 {(x^{3} - 16 x)}^{9} \frac{d}{d x} [x^{3} - 16 x]$

Passaggio 1.2

Differenzia.

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Passaggio 1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{3} - 16 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 16 x]$ .

$10 {(x^{3} - 16 x)}^{9} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 16 x])$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$10 {(x^{3} - 16 x)}^{9} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 16 x])$

Passaggio 1.2.3

Poiché $- 16$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 16 x$ rispetto a $x$ è $- 16 \frac{d}{d x} [x]$ .

$10 {(x^{3} - 16 x)}^{9} (3 x^{2} - 16 \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.2.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$10 {(x^{3} - 16 x)}^{9} (3 x^{2} - 16 \cdot 1)$

Passaggio 1.2.5

Moltiplica $- 16$ per $1$ .

$10 {(x^{3} - 16 x)}^{9} (3 x^{2} - 16)$

Passaggio 1.3

Calcola la derivata per $x = 4$ .

$10 {({(4)}^{3} - 16 \cdot 4)}^{9} (3 {(4)}^{2} - 16)$

Passaggio 1.4

Semplifica.

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Passaggio 1.4.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.4.1.1

Eleva $4$ alla potenza di $3$ .

$10 {(64 - 16 \cdot 4)}^{9} (3 {(4)}^{2} - 16)$

Passaggio 1.4.1.2

Moltiplica $- 16$ per $4$ .

$10 {(64 - 64)}^{9} (3 {(4)}^{2} - 16)$

Passaggio 1.4.2

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 1.4.2.1

Sottrai $64$ da $64$ .

$10 \cdot 0^{9} (3 {(4)}^{2} - 16)$

Passaggio 1.4.2.2

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$10 \cdot 0 (3 {(4)}^{2} - 16)$

Passaggio 1.4.2.3

Moltiplica $10$ per $0$ .

$0 (3 {(4)}^{2} - 16)$

Passaggio 1.4.3

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.4.3.1

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$0 (3 \cdot 16 - 16)$

Passaggio 1.4.3.2

Moltiplica $3$ per $16$ .

$0 (48 - 16)$

Passaggio 1.4.4

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 1.4.4.1

Sottrai $16$ da $48$ .

$0 \cdot 32$

Passaggio 1.4.4.2

Moltiplica $0$ per $32$ .

$0$

Passaggio 2

Inserisci i valori del coefficiente angolare e del punto nella formula di punto-pendenza e risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.1

Usa il coefficiente angolare $0$ e un punto dato $(4, 0)$ da inserire al posto di $x_{1}$ e $y_{1}$ nell'equazione della retta passante per due punti $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , che è derivata dall'equazione della pendenza $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (0) = 0 \cdot (x - (4))$

Passaggio 2.2

Semplifica l'equazione e mantienila in forma di punto-pendenza.

$y + 0 = 0 \cdot (x - 4)$

Passaggio 2.3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.3.1

Somma $y$ e $0$ .

$y = 0 \cdot (x - 4)$

Passaggio 2.3.2

Moltiplica $0$ per $x - 4$ .

$y = 0$

Passaggio 3