Calcolo Esempi

$y = \sqrt{7 x}$ , $(7, 7)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima e risolvi $x = 7$ e $y = 7$ per trovare il coefficiente angolare della linea tangente.

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Passaggio 1.1

Semplifica tramite esclusione.

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Passaggio 1.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{7 x}$ come ${(7 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(7 x)}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 1.1.2

Scomponi $7$ da $7 x$ .

$\frac{d}{d x} [{(7 (x))}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 1.1.3

Applica la regola del prodotto a $7 (x)$ .

$\frac{d}{d x} [7^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 1.2

Poiché $7^{\frac{1}{2}}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $7^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $x$ è $7^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$7^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$7^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Passaggio 1.4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$7^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Passaggio 1.5

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$7^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Passaggio 1.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$7^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Passaggio 1.7

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 1.7.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$7^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Passaggio 1.7.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$7^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Passaggio 1.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$7^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Passaggio 1.9

$\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$7^{\frac{1}{2}} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Passaggio 1.10

$7^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{7^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Passaggio 1.11

Sposta $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{7^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.12

Calcola la derivata per $x = 7$ .

$\frac{7^{\frac{1}{2}}}{2 {(7)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.13

Semplifica.

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Passaggio 1.13.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{7^{\frac{1}{2}}}{2 {(7)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.13.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{2}$

Passaggio 2

Inserisci i valori del coefficiente angolare e del punto nella formula di punto-pendenza e risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.1

Usa il coefficiente angolare $\frac{1}{2}$ e un punto dato $(7, 7)$ da inserire al posto di $x_{1}$ e $y_{1}$ nell'equazione della retta passante per due punti $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , che è derivata dall'equazione della pendenza $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (7) = \frac{1}{2} \cdot (x - (7))$

Passaggio 2.2

Semplifica l'equazione e mantienila in forma di punto-pendenza.

$y - 7 = \frac{1}{2} \cdot (x - 7)$

Passaggio 2.3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.3.1

Semplifica $\frac{1}{2} \cdot (x - 7)$ .

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Passaggio 2.3.1.1

Riscrivi.

$y - 7 = 0 + 0 + \frac{1}{2} \cdot (x - 7)$

Passaggio 2.3.1.2

Semplifica aggiungendo gli zeri.

$y - 7 = \frac{1}{2} \cdot (x - 7)$

Passaggio 2.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y - 7 = \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} \cdot - 7$

Passaggio 2.3.1.4

$\frac{1}{2}$ e $x$ .

$y - 7 = \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \cdot - 7$

Passaggio 2.3.1.5

$\frac{1}{2}$ e $- 7$ .

$y - 7 = \frac{x}{2} + \frac{- 7}{2}$

Passaggio 2.3.1.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y - 7 = \frac{x}{2} - \frac{7}{2}$

Passaggio 2.3.2

Sposta tutti i termini non contenenti $y$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 2.3.2.1

Somma $7$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = \frac{x}{2} - \frac{7}{2} + 7$

Passaggio 2.3.2.2

Per scrivere $7$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{x}{2} - \frac{7}{2} + 7 \cdot \frac{2}{2}$

Passaggio 2.3.2.3

$7$ e $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{x}{2} - \frac{7}{2} + \frac{7 \cdot 2}{2}$

Passaggio 2.3.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \frac{x}{2} + \frac{- 7 + 7 \cdot 2}{2}$

Passaggio 2.3.2.5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 2.3.2.5.1

Moltiplica $7$ per $2$ .

$y = \frac{x}{2} + \frac{- 7 + 14}{2}$

Passaggio 2.3.2.5.2

Somma $- 7$ e $14$ .

$y = \frac{x}{2} + \frac{7}{2}$

Passaggio 2.3.3

Riordina i termini.

$y = \frac{1}{2} x + \frac{7}{2}$

Passaggio 3