Calcolo Esempi

$y = \frac{8}{\sin (x) + \cos (x)}$ , $(0, 8)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima e risolvi $x = 0$ e $y = 8$ per trovare il coefficiente angolare della retta tangente.

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Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola multipla costante.

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Passaggio 1.1.1

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{8}{\sin (x) + \cos (x)}$ rispetto a $x$ è $8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{\sin (x) + \cos (x)}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{\sin (x) + \cos (x)}]$

Passaggio 1.1.2

Riscrivi $\frac{1}{\sin (x) + \cos (x)}$ come ${(\sin (x) + \cos (x))}^{- 1}$ .

$8 \frac{d}{d x} [{(\sin (x) + \cos (x))}^{- 1}]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = \sin (x) + \cos (x)$ .

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Passaggio 1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\sin (x) + \cos (x)$ .

$8 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)])$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$8 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)])$

Passaggio 1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\sin (x) + \cos (x)$ .

$8 (- {(\sin (x) + \cos (x))}^{- 2} \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)])$

Passaggio 1.3

Differenzia usando la regola della somma.

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Passaggio 1.3.1

Moltiplica $- 1$ per $8$ .

$- 8 ({(\sin (x) + \cos (x))}^{- 2} \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)])$

Passaggio 1.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $\sin (x) + \cos (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$- 8 {(\sin (x) + \cos (x))}^{- 2} (\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Passaggio 1.4

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$- 8 {(\sin (x) + \cos (x))}^{- 2} (\cos (x) + \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Passaggio 1.5

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$- 8 {(\sin (x) + \cos (x))}^{- 2} (\cos (x) - \sin (x))$

Passaggio 1.6

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 8 \frac{1}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}} (\cos (x) - \sin (x))$

Passaggio 1.7

Semplifica.

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Passaggio 1.7.1

Raccogli i termini.

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Passaggio 1.7.1.1

$- 8$ e $\frac{1}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$ .

$\frac{- 8}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}} (\cos (x) - \sin (x))$

Passaggio 1.7.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{8}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}} (\cos (x) - \sin (x))$

Passaggio 1.7.2

Riordina i fattori di $- \frac{8}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}} (\cos (x) - \sin (x))$ .

$- (\cos (x) - \sin (x)) \frac{8}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 1.8

Calcola la derivata per $x = 0$ .

$- (\cos (0) - \sin (0)) \frac{8}{{(\sin (0) + \cos (0))}^{2}}$

Passaggio 1.9

Semplifica.

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Passaggio 1.9.1

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 1.9.1.1

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$- (\cos (0) - \sin (0)) \frac{8}{{(0 + \cos (0))}^{2}}$

Passaggio 1.9.1.2

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$- (\cos (0) - \sin (0)) \frac{8}{{(0 + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.9.1.3

Somma $0$ e $1$ .

$- (\cos (0) - \sin (0)) \frac{8}{1^{2}}$

Passaggio 1.9.1.4

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$- (\cos (0) - \sin (0)) \frac{8}{1}$

Passaggio 1.9.2

Semplifica i termini.

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Passaggio 1.9.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.9.2.1.1

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$- (1 - \sin (0)) \frac{8}{1}$

Passaggio 1.9.2.1.2

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$- (1 - 0) \frac{8}{1}$

Passaggio 1.9.2.1.3

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$- (1 + 0) \frac{8}{1}$

Passaggio 1.9.2.2

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 1.9.2.2.1

Somma $1$ e $0$ .

$- 1 \cdot 1 \frac{8}{1}$

Passaggio 1.9.2.2.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 1 (\frac{8}{1})$

Passaggio 1.9.2.2.3

Dividi $8$ per $1$ .

$- 1 \cdot 8$

Passaggio 1.9.2.2.4

Moltiplica $- 1$ per $8$ .

$- 8$

Passaggio 2

Inserisci i valori del coefficiente angolare e del punto nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare e risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.1

Sostituisci il coefficiente angolare $- 8$ e un punto dato $(0, 8)$ a $x_{1}$ e $y_{1}$ nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , che è derivata dall'equazione del coefficiente angolare $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (8) = - 8 \cdot (x - (0))$

Passaggio 2.2

Semplifica l'equazione e mantienila nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare.

$y - 8 = - 8 \cdot (x + 0)$

Passaggio 2.3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.3.1

Somma $x$ e $0$ .

$y - 8 = - 8 x$

Passaggio 2.3.2

Somma $8$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = - 8 x + 8$

Passaggio 3