Calcolo Esempi

$y = \sqrt{x}$ , $(4, 2)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima e risolvi $x = 4$ e $y = 2$ per trovare il coefficiente angolare della linea tangente.

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Passaggio 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}$

Passaggio 1.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Passaggio 1.4

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Passaggio 1.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

Passaggio 1.6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 1.6.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}$

Passaggio 1.6.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}$

Passaggio 1.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

Passaggio 1.8

Semplifica.

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Passaggio 1.8.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.8.2

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.9

Calcola la derivata per $x = 4$ .

$\frac{1}{2 {(4)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.10

Semplifica.

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Passaggio 1.10.1

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 1.10.1.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\frac{1}{2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.10.1.2

Moltiplica gli esponenti in ${(2^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Passaggio 1.10.1.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})}}$

Passaggio 1.10.1.2.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 1.10.1.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})}}$

Passaggio 1.10.1.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{2 \cdot 2^{1}}$

Passaggio 1.10.1.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{2^{1 + 1}}$

Passaggio 1.10.1.4

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{1}{2^{2}}$

Passaggio 1.10.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\frac{1}{4}$

Passaggio 2

Inserisci i valori del coefficiente angolare e del punto nella formula di punto-pendenza e risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.1

Usa il coefficiente angolare $\frac{1}{4}$ e un punto dato $(4, 2)$ da inserire al posto di $x_{1}$ e $y_{1}$ nell'equazione della retta passante per due punti $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , che è derivata dall'equazione della pendenza $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (2) = \frac{1}{4} \cdot (x - (4))$

Passaggio 2.2

Semplifica l'equazione e mantienila in forma di punto-pendenza.

$y - 2 = \frac{1}{4} \cdot (x - 4)$

Passaggio 2.3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.3.1

Semplifica $\frac{1}{4} \cdot (x - 4)$ .

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Passaggio 2.3.1.1

Riscrivi.

$y - 2 = 0 + 0 + \frac{1}{4} \cdot (x - 4)$

Passaggio 2.3.1.2

Semplifica aggiungendo gli zeri.

$y - 2 = \frac{1}{4} \cdot (x - 4)$

Passaggio 2.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y - 2 = \frac{1}{4} x + \frac{1}{4} \cdot - 4$

Passaggio 2.3.1.4

$\frac{1}{4}$ e $x$ .

$y - 2 = \frac{x}{4} + \frac{1}{4} \cdot - 4$

Passaggio 2.3.1.5

Elimina il fattore comune di $4$ .

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Passaggio 2.3.1.5.1

Scomponi $4$ da $- 4$ .

$y - 2 = \frac{x}{4} + \frac{1}{4} \cdot (4 (- 1))$

Passaggio 2.3.1.5.2

Elimina il fattore comune.

$y - 2 = \frac{x}{4} + \frac{1}{4} \cdot (4 \cdot - 1)$

Passaggio 2.3.1.5.3

Riscrivi l'espressione.

$y - 2 = \frac{x}{4} - 1$

Passaggio 2.3.2

Sposta tutti i termini non contenenti $y$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 2.3.2.1

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = \frac{x}{4} - 1 + 2$

Passaggio 2.3.2.2

Somma $- 1$ e $2$ .

$y = \frac{x}{4} + 1$

Passaggio 2.3.3

Riordina i termini.

$y = \frac{1}{4} x + 1$

Passaggio 3