Calcolo Esempi

$y = \frac{3 x}{{(2 x - 5)}^{2}}$ , $(2, 6)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima e risolvi $x = 2$ e $y = 6$ per trovare il coefficiente angolare della linea tangente.

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Passaggio 1.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{3 x}{{(2 x - 5)}^{2}}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(2 x - 5)}^{2}}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(2 x - 5)}^{2}}]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = {(2 x - 5)}^{2}$ .

$3 \frac{{(2 x - 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{2}]}{{({(2 x - 5)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 1.3

Differenzia usando la regola di potenza.

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Passaggio 1.3.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(2 x - 5)}^{2})}^{2}$ .

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Passaggio 1.3.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \frac{{(2 x - 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{2}]}{{(2 x - 5)}^{2 \cdot 2}}$

Passaggio 1.3.1.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$3 \frac{{(2 x - 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{2}]}{{(2 x - 5)}^{4}}$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 \frac{{(2 x - 5)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{2}]}{{(2 x - 5)}^{4}}$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica ${(2 x - 5)}^{2}$ per $1$ .

$3 \frac{{(2 x - 5)}^{2} - x \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{2}]}{{(2 x - 5)}^{4}}$

Passaggio 1.4

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = 2 x - 5$ .

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Passaggio 1.4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 x - 5$ .

$3 \frac{{(2 x - 5)}^{2} - x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [2 x - 5])}{{(2 x - 5)}^{4}}$

Passaggio 1.4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$3 \frac{{(2 x - 5)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} [2 x - 5])}{{(2 x - 5)}^{4}}$

Passaggio 1.4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x - 5$ .

$3 \frac{{(2 x - 5)}^{2} - x (2 (2 x - 5) \frac{d}{d x} [2 x - 5])}{{(2 x - 5)}^{4}}$

Passaggio 1.5

Semplifica tramite esclusione.

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Passaggio 1.5.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$3 \frac{{(2 x - 5)}^{2} - 2 x ((2 x - 5) \frac{d}{d x} [2 x - 5])}{{(2 x - 5)}^{4}}$

Passaggio 1.5.2

Scomponi $2 x - 5$ da ${(2 x - 5)}^{2} - 2 x ((2 x - 5) \frac{d}{d x} [2 x - 5])$ .

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Passaggio 1.5.2.1

Scomponi $2 x - 5$ da ${(2 x - 5)}^{2}$ .

$3 \frac{(2 x - 5) (2 x - 5) - 2 x ((2 x - 5) \frac{d}{d x} [2 x - 5])}{{(2 x - 5)}^{4}}$

Passaggio 1.5.2.2

Scomponi $2 x - 5$ da $- 2 x ((2 x - 5) \frac{d}{d x} [2 x - 5])$ .

$3 \frac{(2 x - 5) (2 x - 5) + (2 x - 5) (- 2 x (\frac{d}{d x} [2 x - 5]))}{{(2 x - 5)}^{4}}$

Passaggio 1.5.2.3

Scomponi $2 x - 5$ da $(2 x - 5) (2 x - 5) + (2 x - 5) (- 2 x (\frac{d}{d x} [2 x - 5]))$ .

$3 \frac{(2 x - 5) (2 x - 5 - 2 x (\frac{d}{d x} [2 x - 5]))}{{(2 x - 5)}^{4}}$

Passaggio 1.6

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 1.6.1

Scomponi $2 x - 5$ da ${(2 x - 5)}^{4}$ .

$3 \frac{(2 x - 5) (2 x - 5 - 2 x (\frac{d}{d x} [2 x - 5]))}{(2 x - 5) {(2 x - 5)}^{3}}$

Passaggio 1.6.2

Elimina il fattore comune.

$3 \frac{(2 x - 5) (2 x - 5 - 2 x (\frac{d}{d x} [2 x - 5]))}{(2 x - 5) {(2 x - 5)}^{3}}$

Passaggio 1.6.3

Riscrivi l'espressione.

$3 \frac{2 x - 5 - 2 x (\frac{d}{d x} [2 x - 5])}{{(2 x - 5)}^{3}}$

Passaggio 1.7

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x - 5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$3 \frac{2 x - 5 - 2 x (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(2 x - 5)}^{3}}$

Passaggio 1.8

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{2 x - 5 - 2 x (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(2 x - 5)}^{3}}$

Passaggio 1.9

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 \frac{2 x - 5 - 2 x (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(2 x - 5)}^{3}}$

Passaggio 1.10

Moltiplica $2$ per $1$ .

$3 \frac{2 x - 5 - 2 x (2 + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(2 x - 5)}^{3}}$

Passaggio 1.11

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$3 \frac{2 x - 5 - 2 x (2 + 0)}{{(2 x - 5)}^{3}}$

Passaggio 1.12

Semplifica i termini.

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Passaggio 1.12.1

Somma $2$ e $0$ .

$3 \frac{2 x - 5 - 2 x \cdot 2}{{(2 x - 5)}^{3}}$

Passaggio 1.12.2

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$3 \frac{2 x - 5 - 4 x}{{(2 x - 5)}^{3}}$

Passaggio 1.12.3

Sottrai $4 x$ da $2 x$ .

$3 \frac{- 2 x - 5}{{(2 x - 5)}^{3}}$

Passaggio 1.12.4

$3$ e $\frac{- 2 x - 5}{{(2 x - 5)}^{3}}$ .

$\frac{3 (- 2 x - 5)}{{(2 x - 5)}^{3}}$

Passaggio 1.13

Semplifica.

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Passaggio 1.13.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{3 (- 2 x) + 3 \cdot - 5}{{(2 x - 5)}^{3}}$

Passaggio 1.13.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.13.2.1

Moltiplica $- 2$ per $3$ .

$\frac{- 6 x + 3 \cdot - 5}{{(2 x - 5)}^{3}}$

Passaggio 1.13.2.2

Moltiplica $3$ per $- 5$ .

$\frac{- 6 x - 15}{{(2 x - 5)}^{3}}$

Passaggio 1.13.3

Scomponi $3$ da $- 6 x - 15$ .

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Passaggio 1.13.3.1

Scomponi $3$ da $- 6 x$ .

$\frac{3 (- 2 x) - 15}{{(2 x - 5)}^{3}}$

Passaggio 1.13.3.2

Scomponi $3$ da $- 15$ .

$\frac{3 (- 2 x) + 3 (- 5)}{{(2 x - 5)}^{3}}$

Passaggio 1.13.3.3

Scomponi $3$ da $3 (- 2 x) + 3 (- 5)$ .

$\frac{3 (- 2 x - 5)}{{(2 x - 5)}^{3}}$

Passaggio 1.13.4

Scomponi $- 1$ da $- 2 x$ .

$\frac{3 (- (2 x) - 5)}{{(2 x - 5)}^{3}}$

Passaggio 1.13.5

Riscrivi $- 5$ come $- 1 (5)$ .

$\frac{3 (- (2 x) - 1 (5))}{{(2 x - 5)}^{3}}$

Passaggio 1.13.6

Scomponi $- 1$ da $- (2 x) - 1 (5)$ .

$\frac{3 (- (2 x + 5))}{{(2 x - 5)}^{3}}$

Passaggio 1.13.7

Riscrivi $- (2 x + 5)$ come $- 1 (2 x + 5)$ .

$\frac{3 (- 1 (2 x + 5))}{{(2 x - 5)}^{3}}$

Passaggio 1.13.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{3 (2 x + 5)}{{(2 x - 5)}^{3}}$

Passaggio 1.14

Calcola la derivata per $x = 2$ .

$- \frac{3 (2 (2) + 5)}{{(2 (2) - 5)}^{3}}$

Passaggio 1.15

Semplifica.

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Passaggio 1.15.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 1.15.1.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$- \frac{3 (4 + 5)}{{(2 (2) - 5)}^{3}}$

Passaggio 1.15.1.2

Somma $4$ e $5$ .

$- \frac{3 \cdot 9}{{(2 (2) - 5)}^{3}}$

Passaggio 1.15.2

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 1.15.2.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$- \frac{3 \cdot 9}{{(4 - 5)}^{3}}$

Passaggio 1.15.2.2

Sottrai $5$ da $4$ .

$- \frac{3 \cdot 9}{{(- 1)}^{3}}$

Passaggio 1.15.2.3

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$- \frac{3 \cdot 9}{- 1}$

Passaggio 1.15.3

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 1.15.3.1

Moltiplica $3$ per $9$ .

$- \frac{27}{- 1}$

Passaggio 1.15.3.2

Dividi $27$ per $- 1$ .

$- - 27$

Passaggio 1.15.3.3

Moltiplica $- 1$ per $- 27$ .

$27$

Passaggio 2

Inserisci i valori del coefficiente angolare e del punto nella formula di punto-pendenza e risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.1

Usa il coefficiente angolare $27$ e un punto dato $(2, 6)$ da inserire al posto di $x_{1}$ e $y_{1}$ nell'equazione della retta passante per due punti $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , che è derivata dall'equazione della pendenza $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (6) = 27 \cdot (x - (2))$

Passaggio 2.2

Semplifica l'equazione e mantienila in forma di punto-pendenza.

$y - 6 = 27 \cdot (x - 2)$

Passaggio 2.3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.3.1

Semplifica $27 \cdot (x - 2)$ .

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Passaggio 2.3.1.1

Riscrivi.

$y - 6 = 0 + 0 + 27 \cdot (x - 2)$

Passaggio 2.3.1.2

Semplifica aggiungendo gli zeri.

$y - 6 = 27 \cdot (x - 2)$

Passaggio 2.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y - 6 = 27 x + 27 \cdot - 2$

Passaggio 2.3.1.4

Moltiplica $27$ per $- 2$ .

$y - 6 = 27 x - 54$

Passaggio 2.3.2

Sposta tutti i termini non contenenti $y$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 2.3.2.1

Somma $6$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = 27 x - 54 + 6$

Passaggio 2.3.2.2

Somma $- 54$ e $6$ .

$y = 27 x - 48$

Passaggio 3