Calcolo Esempi

$y = \frac{36}{x^{2} + 2}$ , $(1, 12)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima e risolvi $x = 1$ e $y = 12$ per trovare il coefficiente angolare della linea tangente.

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Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola multipla costante.

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Passaggio 1.1.1

Poiché $36$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{36}{x^{2} + 2}$ rispetto a $x$ è $36 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} + 2}]$ .

$36 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} + 2}]$

Passaggio 1.1.2

Riscrivi $\frac{1}{x^{2} + 2}$ come ${(x^{2} + 2)}^{- 1}$ .

$36 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 2)}^{- 1}]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{2} + 2$ .

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Passaggio 1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} + 2$ .

$36 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 2])$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$36 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2])$

Passaggio 1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} + 2$ .

$36 (- {(x^{2} + 2)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2])$

Passaggio 1.3

Differenzia.

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Passaggio 1.3.1

Moltiplica $- 1$ per $36$ .

$- 36 ({(x^{2} + 2)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2])$

Passaggio 1.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$- 36 {(x^{2} + 2)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2])$

Passaggio 1.3.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- 36 {(x^{2} + 2)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [2])$

Passaggio 1.3.4

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- 36 {(x^{2} + 2)}^{- 2} (2 x + 0)$

Passaggio 1.3.5

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 1.3.5.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$- 36 {(x^{2} + 2)}^{- 2} (2 x)$

Passaggio 1.3.5.2

Moltiplica $2$ per $- 36$ .

$- 72 {(x^{2} + 2)}^{- 2} x$

Passaggio 1.4

Semplifica.

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Passaggio 1.4.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 72 \frac{1}{{(x^{2} + 2)}^{2}} x$

Passaggio 1.4.2

Raccogli i termini.

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Passaggio 1.4.2.1

$- 72$ e $\frac{1}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$ .

$\frac{- 72}{{(x^{2} + 2)}^{2}} x$

Passaggio 1.4.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{72}{{(x^{2} + 2)}^{2}} x$

Passaggio 1.4.2.3

$x$ e $\frac{72}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$ .

$- \frac{x \cdot 72}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

Passaggio 1.4.2.4

Sposta $72$ alla sinistra di $x$ .

$- \frac{72 x}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

Passaggio 1.5

Calcola la derivata per $x = 1$ .

$- \frac{72 (1)}{{({(1)}^{2} + 2)}^{2}}$

Passaggio 1.6

Semplifica.

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Passaggio 1.6.1

Moltiplica $72$ per $1$ .

$- \frac{72}{{(1^{2} + 2)}^{2}}$

Passaggio 1.6.2

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 1.6.2.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$- \frac{72}{{(1 + 2)}^{2}}$

Passaggio 1.6.2.2

Somma $1$ e $2$ .

$- \frac{72}{3^{2}}$

Passaggio 1.6.2.3

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$- \frac{72}{9}$

Passaggio 1.6.3

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 1.6.3.1

Dividi $72$ per $9$ .

$- 1 \cdot 8$

Passaggio 1.6.3.2

Moltiplica $- 1$ per $8$ .

$- 8$

Passaggio 2

Inserisci i valori del coefficiente angolare e del punto nella formula di punto-pendenza e risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.1

Usa il coefficiente angolare $- 8$ e un punto dato $(1, 12)$ da inserire al posto di $x_{1}$ e $y_{1}$ nell'equazione della retta passante per due punti $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , che è derivata dall'equazione della pendenza $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (12) = - 8 \cdot (x - (1))$

Passaggio 2.2

Semplifica l'equazione e mantienila in forma di punto-pendenza.

$y - 12 = - 8 \cdot (x - 1)$

Passaggio 2.3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.3.1

Semplifica $- 8 \cdot (x - 1)$ .

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Passaggio 2.3.1.1

Riscrivi.

$y - 12 = 0 + 0 - 8 \cdot (x - 1)$

Passaggio 2.3.1.2

Semplifica aggiungendo gli zeri.

$y - 12 = - 8 \cdot (x - 1)$

Passaggio 2.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y - 12 = - 8 x - 8 \cdot - 1$

Passaggio 2.3.1.4

Moltiplica $- 8$ per $- 1$ .

$y - 12 = - 8 x + 8$

Passaggio 2.3.2

Sposta tutti i termini non contenenti $y$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 2.3.2.1

Somma $12$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = - 8 x + 8 + 12$

Passaggio 2.3.2.2

Somma $8$ e $12$ .

$y = - 8 x + 20$

Passaggio 3