Calcolo Esempi

$y = \frac{5 x}{x - 3}$ , $(4, 20)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima e risolvi $x = 4$ e $y = 20$ per trovare il coefficiente angolare della linea tangente.

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Passaggio 1.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{5 x}{x - 3}$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x - 3}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x - 3}]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = x - 3$ .

$5 \frac{(x - 3) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 1.3

Differenzia.

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Passaggio 1.3.1

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$5 \frac{(x - 3) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 1.3.2

Moltiplica $x - 3$ per $1$ .

$5 \frac{x - 3 - x \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 1.3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$5 \frac{x - 3 - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 1.3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$5 \frac{x - 3 - x (1 + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 1.3.5

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$5 \frac{x - 3 - x (1 + 0)}{{(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 1.3.6

Semplifica i termini.

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Passaggio 1.3.6.1

Somma $1$ e $0$ .

$5 \frac{x - 3 - x \cdot 1}{{(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 1.3.6.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$5 \frac{x - 3 - x}{{(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 1.3.6.3

Sottrai $x$ da $x$ .

$5 \frac{0 - 3}{{(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 1.3.6.4

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 1.3.6.4.1

Sottrai $3$ da $0$ .

$5 \frac{- 3}{{(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 1.3.6.4.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$5 (- \frac{3}{{(x - 3)}^{2}})$

Passaggio 1.3.6.4.3

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$- 5 \frac{3}{{(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 1.3.6.5

$- 5$ e $\frac{3}{{(x - 3)}^{2}}$ .

$\frac{- 5 \cdot 3}{{(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 1.3.6.6

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 1.3.6.6.1

Moltiplica $- 5$ per $3$ .

$\frac{- 15}{{(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 1.3.6.6.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{15}{{(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 1.4

Calcola la derivata per $x = 4$ .

$- \frac{15}{{((4) - 3)}^{2}}$

Passaggio 1.5

Semplifica.

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Passaggio 1.5.1

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 1.5.1.1

Sottrai $3$ da $4$ .

$- \frac{15}{1^{2}}$

Passaggio 1.5.1.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$- \frac{15}{1}$

Passaggio 1.5.2

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 1.5.2.1

Dividi $15$ per $1$ .

$- 1 \cdot 15$

Passaggio 1.5.2.2

Moltiplica $- 1$ per $15$ .

$- 15$

Passaggio 2

Inserisci i valori del coefficiente angolare e del punto nella formula di punto-pendenza e risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.1

Usa il coefficiente angolare $- 15$ e un punto dato $(4, 20)$ da inserire al posto di $x_{1}$ e $y_{1}$ nell'equazione della retta passante per due punti $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , che è derivata dall'equazione della pendenza $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (20) = - 15 \cdot (x - (4))$

Passaggio 2.2

Semplifica l'equazione e mantienila in forma di punto-pendenza.

$y - 20 = - 15 \cdot (x - 4)$

Passaggio 2.3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.3.1

Semplifica $- 15 \cdot (x - 4)$ .

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Passaggio 2.3.1.1

Riscrivi.

$y - 20 = 0 + 0 - 15 \cdot (x - 4)$

Passaggio 2.3.1.2

Semplifica aggiungendo gli zeri.

$y - 20 = - 15 \cdot (x - 4)$

Passaggio 2.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y - 20 = - 15 x - 15 \cdot - 4$

Passaggio 2.3.1.4

Moltiplica $- 15$ per $- 4$ .

$y - 20 = - 15 x + 60$

Passaggio 2.3.2

Sposta tutti i termini non contenenti $y$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 2.3.2.1

Somma $20$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = - 15 x + 60 + 20$

Passaggio 2.3.2.2

Somma $60$ e $20$ .

$y = - 15 x + 80$

Passaggio 3