Calcolo Esempi

$y = {(1 + 5 x)}^{15}$ , $(0, 1)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima e risolvi $x = 0$ e $y = 1$ per trovare il coefficiente angolare della linea tangente.

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Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{15}$ e $g (x) = 1 + 5 x$ .

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Passaggio 1.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $1 + 5 x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{15}] \frac{d}{d x} [1 + 5 x]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 15$ .

$15 u^{14} \frac{d}{d x} [1 + 5 x]$

Passaggio 1.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $1 + 5 x$ .

$15 {(1 + 5 x)}^{14} \frac{d}{d x} [1 + 5 x]$

Passaggio 1.2

Differenzia.

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Passaggio 1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + 5 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [5 x]$ .

$15 {(1 + 5 x)}^{14} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [5 x])$

Passaggio 1.2.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$15 {(1 + 5 x)}^{14} (0 + \frac{d}{d x} [5 x])$

Passaggio 1.2.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

$15 {(1 + 5 x)}^{14} \frac{d}{d x} [5 x]$

Passaggio 1.2.4

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$15 {(1 + 5 x)}^{14} (5 \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.2.5

Moltiplica $5$ per $15$ .

$75 {(1 + 5 x)}^{14} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.2.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$75 {(1 + 5 x)}^{14} \cdot 1$

Passaggio 1.2.7

Moltiplica $75$ per $1$ .

$75 {(1 + 5 x)}^{14}$

Passaggio 1.3

Calcola la derivata per $x = 0$ .

$75 {(1 + 5 (0))}^{14}$

Passaggio 1.4

Semplifica.

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Passaggio 1.4.1

Moltiplica $5$ per $0$ .

$75 {(1 + 0)}^{14}$

Passaggio 1.4.2

Somma $1$ e $0$ .

$75 \cdot 1^{14}$

Passaggio 1.4.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$75 \cdot 1$

Passaggio 1.4.4

Moltiplica $75$ per $1$ .

$75$

Passaggio 2

Inserisci i valori del coefficiente angolare e del punto nella formula di punto-pendenza e risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.1

Usa il coefficiente angolare $75$ e un punto dato $(0, 1)$ da inserire al posto di $x_{1}$ e $y_{1}$ nell'equazione della retta passante per due punti $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , che è derivata dall'equazione della pendenza $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = 75 \cdot (x - (0))$

Passaggio 2.2

Semplifica l'equazione e mantienila in forma di punto-pendenza.

$y - 1 = 75 \cdot (x + 0)$

Passaggio 2.3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.3.1

Somma $x$ e $0$ .

$y - 1 = 75 x$

Passaggio 2.3.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = 75 x + 1$

Passaggio 3