Calcolo Esempi

$y = \frac{x^{2} - 1}{x^{2} + x + 1}$ , $(1, 0)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima e risolvi $x = 1$ e $y = 0$ per trovare il coefficiente angolare della linea tangente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x^{2} - 1$ e $g (x) = x^{2} + x + 1$ .

$\frac{(x^{2} + x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1] - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{(x^{2} + x + 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} + x + 1) (2 x + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.2.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(x^{2} + x + 1) (2 x + 0) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.2.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$\frac{(x^{2} + x + 1) (2 x) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.2.4.2

Sposta $2$ alla sinistra di $x^{2} + x + 1$ .

$\frac{2 \cdot (x^{2} + x + 1) x - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.2.5

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{2 (x^{2} + x + 1) x - (x^{2} - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.2.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{2 (x^{2} + x + 1) x - (x^{2} - 1) (2 x + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.2.7

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{2 (x^{2} + x + 1) x - (x^{2} - 1) (2 x + 1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.2.8

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + x + 1) x - (x^{2} - 1) (2 x + 1 + 0)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.2.9

Somma $2 x + 1$ e $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + x + 1) x - (x^{2} - 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(2 x^{2} + 2 x + 2 \cdot 1) x - (x^{2} - 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x^{2} x + 2 x \cdot x + 2 \cdot 1 x - (x^{2} - 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x^{2} x + 2 x \cdot x + 2 \cdot 1 x + (- x^{2} - - 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.3.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.1.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.1.1.1

Sposta $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 x \cdot x + 2 \cdot 1 x + (- x^{2} - - 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.3.4.1.1.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.1.1.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + 2 x \cdot x + 2 \cdot 1 x + (- x^{2} - - 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.3.4.1.1.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2 x^{1 + 2} + 2 x \cdot x + 2 \cdot 1 x + (- x^{2} - - 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.3.4.1.1.3

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x \cdot x + 2 \cdot 1 x + (- x^{2} - - 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.3.4.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.1.2.1

Sposta $x$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 (x \cdot x) + 2 \cdot 1 x + (- x^{2} - - 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.3.4.1.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 \cdot 1 x + (- x^{2} - - 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.3.4.1.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + (- x^{2} - - 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.3.4.1.4

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + (- x^{2} + 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.3.4.1.5

Espandi $(- x^{2} + 1) (2 x + 1)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.1.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - x^{2} (2 x + 1) + 1 (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.3.4.1.5.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.3.4.1.5.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.3.4.1.6

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.1.6.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - 1 \cdot 2 x^{2} x - x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.3.4.1.6.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.1.6.2.1

Sposta $x$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - 1 \cdot 2 (x \cdot x^{2}) - x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.3.4.1.6.2.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.1.6.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - 1 \cdot 2 (x^{1} x^{2}) - x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.3.4.1.6.2.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - 1 \cdot 2 x^{1 + 2} - x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.3.4.1.6.2.3

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - 1 \cdot 2 x^{3} - x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.3.4.1.6.3

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - 2 x^{3} - x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.3.4.1.6.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - 2 x^{3} - x^{2} + 1 (2 x) + 1 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.3.4.1.6.5

Moltiplica $2 x$ per $1$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - 2 x^{3} - x^{2} + 2 x + 1 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.3.4.1.6.6

Moltiplica $1$ per $1$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - 2 x^{3} - x^{2} + 2 x + 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.3.4.2

Combina i termini opposti in $2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - 2 x^{3} - x^{2} + 2 x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.2.1

Sottrai $2 x^{3}$ da $2 x^{3}$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 x + 0 - x^{2} + 2 x + 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.3.4.2.2

Somma $2 x^{2} + 2 x$ e $0$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 x - x^{2} + 2 x + 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.3.4.3

Sottrai $x^{2}$ da $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} + 2 x + 2 x + 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.3.4.4

Somma $2 x$ e $2 x$ .

$\frac{x^{2} + 4 x + 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.4

Calcola la derivata per $x = 1$ .

$\frac{{(1)}^{2} + 4 (1) + 1}{{({(1)}^{2} + 1 + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Rimuovi le parentesi.

$\frac{{(1)}^{2} + 4 (1) + 1}{{({(1)}^{2} + 1 + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.5.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{1 + 4 (1) + 1}{{(1^{2} + 1 + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.5.2.2

Moltiplica $4$ per $1$ .

$\frac{1 + 4 + 1}{{(1^{2} + 1 + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.5.2.3

Somma $1$ e $4$ .

$\frac{5 + 1}{{(1^{2} + 1 + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.5.2.4

Somma $5$ e $1$ .

$\frac{6}{{(1^{2} + 1 + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.5.3

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{6}{{(1 + 1 + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.5.3.2

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{6}{{(2 + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.5.3.3

Somma $2$ e $1$ .

$\frac{6}{3^{2}}$

Passaggio 1.5.3.4

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$\frac{6}{9}$

Passaggio 1.5.4

Elimina il fattore comune di $6$ e $9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.1

Scomponi $3$ da $6$ .

$\frac{3 (2)}{9}$

Passaggio 1.5.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.2.1

Scomponi $3$ da $9$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3}$

Passaggio 1.5.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3}$

Passaggio 1.5.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2}{3}$

Passaggio 2

Inserisci i valori del coefficiente angolare e del punto nella formula di punto-pendenza e risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Usa il coefficiente angolare $\frac{2}{3}$ e un punto dato $(1, 0)$ da inserire al posto di $x_{1}$ e $y_{1}$ nell'equazione della retta passante per due punti $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , che è derivata dall'equazione della pendenza $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (0) = \frac{2}{3} \cdot (x - (1))$

Passaggio 2.2

Semplifica l'equazione e mantienila in forma di punto-pendenza.

$y + 0 = \frac{2}{3} \cdot (x - 1)$

Passaggio 2.3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Somma $y$ e $0$ .

$y = \frac{2}{3} \cdot (x - 1)$

Passaggio 2.3.2

Semplifica $\frac{2}{3} \cdot (x - 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{2}{3} x + \frac{2}{3} \cdot - 1$

Passaggio 2.3.2.2

$\frac{2}{3}$ e $x$ .

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{2}{3} \cdot - 1$

Passaggio 2.3.2.3

Moltiplica $\frac{2}{3} \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.3.1

$\frac{2}{3}$ e $- 1$ .

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{2 \cdot - 1}{3}$

Passaggio 2.3.2.3.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{- 2}{3}$

Passaggio 2.3.2.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = \frac{2 x}{3} - \frac{2}{3}$

Passaggio 2.3.3

Riordina i termini.

$y = \frac{2}{3} x - \frac{2}{3}$

Passaggio 3