Calcolo Esempi

$4 x y^{3} + 5 x y = 36$ , $(4, 1)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima e risolvi $x = 4$ e $y = 1$ per trovare il coefficiente angolare della retta tangente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (4 x y^{3} + 5 x y) = \frac{d}{d x} (36)$

Passaggio 1.2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 x y^{3} + 5 x y$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 x y^{3}] + \frac{d}{d x} [5 x y]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x y^{3}] + \frac{d}{d x} [5 x y]$

Passaggio 1.2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [4 x y^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x y^{3}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x y^{3}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x y^{3}] + \frac{d}{d x} [5 x y]$

Passaggio 1.2.2.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = y^{3}$ .

$4 (x \frac{d}{d x} [y^{3}] + y^{3} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [5 x y]$

Passaggio 1.2.2.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$4 (x (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [5 x y]$

Passaggio 1.2.2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$4 (x (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [5 x y]$

Passaggio 1.2.2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$4 (x (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [5 x y]$

Passaggio 1.2.2.4

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$4 (x (3 y^{2} y') + y^{3} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [5 x y]$

Passaggio 1.2.2.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$4 (x (3 y^{2} y') + y^{3} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [5 x y]$

Passaggio 1.2.2.6

Sposta $3$ alla sinistra di $x$ .

$4 (3 \cdot x y^{2} y' + y^{3} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [5 x y]$

Passaggio 1.2.2.7

Moltiplica $y^{3}$ per $1$ .

$4 (3 x y^{2} y' + y^{3}) + \frac{d}{d x} [5 x y]$

Passaggio 1.2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [5 x y]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x y$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$4 (3 x y^{2} y' + y^{3}) + 5 \frac{d}{d x} [x y]$

Passaggio 1.2.3.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$4 (3 x y^{2} y' + y^{3}) + 5 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.2.3.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$4 (3 x y^{2} y' + y^{3}) + 5 (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.2.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$4 (3 x y^{2} y' + y^{3}) + 5 (x y' + y \cdot 1)$

Passaggio 1.2.3.5

Moltiplica $y$ per $1$ .

$4 (3 x y^{2} y' + y^{3}) + 5 (x y' + y)$

Passaggio 1.2.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$4 (3 x y^{2} y') + 4 y^{3} + 5 (x y' + y)$

Passaggio 1.2.4.2

Applica la proprietà distributiva.

$4 (3 x y^{2} y') + 4 y^{3} + 5 (x y') + 5 y$

Passaggio 1.2.4.3

Moltiplica $3$ per $4$ .

$12 x y^{2} y' + 4 y^{3} + 5 x y' + 5 y$

Passaggio 1.2.4.4

Riordina i termini.

$4 y^{3} + 12 y^{2} x y' + 5 x y' + 5 y$

Passaggio 1.3

Poiché $36$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $36$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0$

Passaggio 1.4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$4 y^{3} + 12 y^{2} x y' + 5 x y' + 5 y = 0$

Passaggio 1.5

Risolvi per $y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Sposta tutti i termini non contenenti $y'$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1.1

Sottrai $4 y^{3}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$12 y^{2} x y' + 5 x y' + 5 y = - 4 y^{3}$

Passaggio 1.5.1.2

Sottrai $5 y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$12 y^{2} x y' + 5 x y' = - 4 y^{3} - 5 y$

Passaggio 1.5.2

Scomponi $x y'$ da $12 y^{2} x y' + 5 x y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.1

Scomponi $x y'$ da $12 y^{2} x y'$ .

$x y' (12 y^{2}) + 5 x y' = - 4 y^{3} - 5 y$

Passaggio 1.5.2.2

Scomponi $x y'$ da $5 x y'$ .

$x y' (12 y^{2}) + x y' \cdot 5 = - 4 y^{3} - 5 y$

Passaggio 1.5.2.3

Scomponi $x y'$ da $x y' (12 y^{2}) + x y' \cdot 5$ .

$x y' (12 y^{2} + 5) = - 4 y^{3} - 5 y$

Passaggio 1.5.3

Dividi per $x (12 y^{2} + 5)$ ciascun termine in $x y' (12 y^{2} + 5) = - 4 y^{3} - 5 y$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.1

Dividi per $x (12 y^{2} + 5)$ ciascun termine in $x y' (12 y^{2} + 5) = - 4 y^{3} - 5 y$ .

$\frac{x y' (12 y^{2} + 5)}{x (12 y^{2} + 5)} = \frac{- 4 y^{3}}{x (12 y^{2} + 5)} + \frac{- 5 y}{x (12 y^{2} + 5)}$

Passaggio 1.5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.2.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x y' (12 y^{2} + 5)}{x (12 y^{2} + 5)} = \frac{- 4 y^{3}}{x (12 y^{2} + 5)} + \frac{- 5 y}{x (12 y^{2} + 5)}$

Passaggio 1.5.3.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y' (12 y^{2} + 5)}{12 y^{2} + 5} = \frac{- 4 y^{3}}{x (12 y^{2} + 5)} + \frac{- 5 y}{x (12 y^{2} + 5)}$

Passaggio 1.5.3.2.2

Elimina il fattore comune di $12 y^{2} + 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (12 y^{2} + 5)}{12 y^{2} + 5} = \frac{- 4 y^{3}}{x (12 y^{2} + 5)} + \frac{- 5 y}{x (12 y^{2} + 5)}$

Passaggio 1.5.3.2.2.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{- 4 y^{3}}{x (12 y^{2} + 5)} + \frac{- 5 y}{x (12 y^{2} + 5)}$

Passaggio 1.5.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.3.1.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{4 y^{3}}{x (12 y^{2} + 5)} + \frac{- 5 y}{x (12 y^{2} + 5)}$

Passaggio 1.5.3.3.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{4 y^{3}}{x (12 y^{2} + 5)} - \frac{5 y}{x (12 y^{2} + 5)}$

Passaggio 1.6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{4 y^{3}}{x (12 y^{2} + 5)} - \frac{5 y}{x (12 y^{2} + 5)}$

Passaggio 1.7

Calcola con $x = 4$ e $y = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $4$ nell'espressione.

$- \frac{4 y^{3}}{(4) (12 y^{2} + 5)} - \frac{5 y}{(4) (12 y^{2} + 5)}$

Passaggio 1.7.2

Sostituisci la variabile $y$ con $1$ nell'espressione.

$- \frac{4 {(1)}^{3}}{(4) (12 {(1)}^{2} + 5)} - \frac{5 (1)}{(4) (12 {(1)}^{2} + 5)}$

Passaggio 1.7.3

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.3.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- 4 {(1)}^{3} - 5 \cdot 1}{4 (12 {(1)}^{2} + 5)}$

Passaggio 1.7.3.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.3.2.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{- 4 \cdot 1 - 5 \cdot 1}{4 (12 {(1)}^{2} + 5)}$

Passaggio 1.7.3.2.2

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$\frac{- 4 - 5 \cdot 1}{4 (12 {(1)}^{2} + 5)}$

Passaggio 1.7.3.2.3

Moltiplica $- 5$ per $1$ .

$\frac{- 4 - 5}{4 (12 {(1)}^{2} + 5)}$

Passaggio 1.7.3.3

Sottrai $5$ da $- 4$ .

$\frac{- 9}{4 (12 {(1)}^{2} + 5)}$

Passaggio 1.7.4

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.4.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{- 9}{4 (12 \cdot 1 + 5)}$

Passaggio 1.7.4.2

Moltiplica $12$ per $1$ .

$\frac{- 9}{4 (12 + 5)}$

Passaggio 1.7.4.3

Somma $12$ e $5$ .

$\frac{- 9}{4 \cdot 17}$

Passaggio 1.7.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.5.1

Moltiplica $4$ per $17$ .

$\frac{- 9}{68}$

Passaggio 1.7.5.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{9}{68}$

Passaggio 2

Inserisci i valori del coefficiente angolare e del punto nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare e risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sostituisci il coefficiente angolare $- \frac{9}{68}$ e un punto dato $(4, 1)$ a $x_{1}$ e $y_{1}$ nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , che è derivata dall'equazione del coefficiente angolare $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = - \frac{9}{68} \cdot (x - (4))$

Passaggio 2.2

Semplifica l'equazione e mantienila nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare.

$y - 1 = - \frac{9}{68} \cdot (x - 4)$

Passaggio 2.3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Semplifica $- \frac{9}{68} \cdot (x - 4)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Riscrivi.

$y - 1 = 0 + 0 - \frac{9}{68} \cdot (x - 4)$

Passaggio 2.3.1.2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$y - 1 = - \frac{9}{68} x - \frac{9}{68} \cdot - 4$

Passaggio 2.3.1.2.2

$x$ e $\frac{9}{68}$ .

$y - 1 = - \frac{x \cdot 9}{68} - \frac{9}{68} \cdot - 4$

Passaggio 2.3.1.2.3

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.2.3.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{9}{68}$ nel numeratore.

$y - 1 = - \frac{x \cdot 9}{68} + \frac{- 9}{68} \cdot - 4$

Passaggio 2.3.1.2.3.2

Scomponi $4$ da $68$ .

$y - 1 = - \frac{x \cdot 9}{68} + \frac{- 9}{4 (17)} \cdot - 4$

Passaggio 2.3.1.2.3.3

Scomponi $4$ da $- 4$ .

$y - 1 = - \frac{x \cdot 9}{68} + \frac{- 9}{4 \cdot 17} \cdot (4 \cdot - 1)$

Passaggio 2.3.1.2.3.4

Elimina il fattore comune.

$y - 1 = - \frac{x \cdot 9}{68} + \frac{- 9}{4 \cdot 17} \cdot (4 \cdot - 1)$

Passaggio 2.3.1.2.3.5

Riscrivi l'espressione.

$y - 1 = - \frac{x \cdot 9}{68} + \frac{- 9}{17} \cdot - 1$

Passaggio 2.3.1.2.4

$\frac{- 9}{17}$ e $- 1$ .

$y - 1 = - \frac{x \cdot 9}{68} + \frac{- 9 \cdot - 1}{17}$

Passaggio 2.3.1.2.5

Moltiplica $- 9$ per $- 1$ .

$y - 1 = - \frac{x \cdot 9}{68} + \frac{9}{17}$

Passaggio 2.3.1.3

Sposta $9$ alla sinistra di $x$ .

$y - 1 = - \frac{9 x}{68} + \frac{9}{17}$

Passaggio 2.3.2

Sposta tutti i termini non contenenti $y$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = - \frac{9 x}{68} + \frac{9}{17} + 1$

Passaggio 2.3.2.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$y = - \frac{9 x}{68} + \frac{9}{17} + \frac{17}{17}$

Passaggio 2.3.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = - \frac{9 x}{68} + \frac{9 + 17}{17}$

Passaggio 2.3.2.4

Somma $9$ e $17$ .

$y = - \frac{9 x}{68} + \frac{26}{17}$

Passaggio 2.3.3

Scrivi in forma $y = m x + b$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Riordina i termini.

$y = - (\frac{9}{68} x) + \frac{26}{17}$

Passaggio 2.3.3.2

Rimuovi le parentesi.

$y = - \frac{9}{68} x + \frac{26}{17}$

Passaggio 3