Calcolo Esempi

$x^{4} y^{4} = 16$ , $(2, 1)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima e risolvi $x = 2$ e $y = 1$ per trovare il coefficiente angolare della linea tangente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (x^{4} y^{4}) = \frac{d}{d x} (16)$

Passaggio 1.2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 1.2.1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = y^{4}$ .

$x^{4} \frac{d}{d x} [y^{4}] + y^{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$x^{4} (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Passaggio 1.2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$x^{4} (4 u^{3} \frac{d}{d x} [y]) + y^{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Passaggio 1.2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$x^{4} (4 y^{3} \frac{d}{d x} [y]) + y^{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Passaggio 1.2.3

Sposta $4$ alla sinistra di $x^{4}$ .

$4 \cdot x^{4} y^{3} \frac{d}{d x} [y] + y^{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Passaggio 1.2.4

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$4 x^{4} y^{3} y' + y^{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Passaggio 1.2.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$4 x^{4} y^{3} y' + y^{4} (4 x^{3})$

Passaggio 1.2.6

Sposta $4$ alla sinistra di $y^{4}$ .

$4 x^{4} y^{3} y' + 4 y^{4} x^{3}$

Passaggio 1.3

Poiché $16$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $16$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0$

Passaggio 1.4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$4 x^{4} y^{3} y' + 4 y^{4} x^{3} = 0$

Passaggio 1.5

Risolvi per $y'$ .

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Passaggio 1.5.1

Sottrai $4 y^{4} x^{3}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$4 x^{4} y^{3} y' = - 4 y^{4} x^{3}$

Passaggio 1.5.2

Dividi per $4 x^{4} y^{3}$ ciascun termine in $4 x^{4} y^{3} y' = - 4 y^{4} x^{3}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.1

Dividi per $4 x^{4} y^{3}$ ciascun termine in $4 x^{4} y^{3} y' = - 4 y^{4} x^{3}$ .

$\frac{4 x^{4} y^{3} y'}{4 x^{4} y^{3}} = \frac{- 4 y^{4} x^{3}}{4 x^{4} y^{3}}$

Passaggio 1.5.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 x^{4} y^{3} y'}{4 x^{4} y^{3}} = \frac{- 4 y^{4} x^{3}}{4 x^{4} y^{3}}$

Passaggio 1.5.2.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x^{4} y^{3} y'}{x^{4} y^{3}} = \frac{- 4 y^{4} x^{3}}{4 x^{4} y^{3}}$

Passaggio 1.5.2.2.2

Elimina il fattore comune di $x^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x^{4} y^{3} y'}{x^{4} y^{3}} = \frac{- 4 y^{4} x^{3}}{4 x^{4} y^{3}}$

Passaggio 1.5.2.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y^{3} y'}{y^{3}} = \frac{- 4 y^{4} x^{3}}{4 x^{4} y^{3}}$

Passaggio 1.5.2.2.3

Elimina il fattore comune di $y^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y^{3} y'}{y^{3}} = \frac{- 4 y^{4} x^{3}}{4 x^{4} y^{3}}$

Passaggio 1.5.2.2.3.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{- 4 y^{4} x^{3}}{4 x^{4} y^{3}}$

Passaggio 1.5.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.3.1

Elimina il fattore comune di $- 4$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.3.1.1

Scomponi $4$ da $- 4 y^{4} x^{3}$ .

$y' = \frac{4 (- y^{4} x^{3})}{4 x^{4} y^{3}}$

Passaggio 1.5.2.3.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.3.1.2.1

Scomponi $4$ da $4 x^{4} y^{3}$ .

$y' = \frac{4 (- y^{4} x^{3})}{4 (x^{4} y^{3})}$

Passaggio 1.5.2.3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{4 (- y^{4} x^{3})}{4 (x^{4} y^{3})}$

Passaggio 1.5.2.3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{- y^{4} x^{3}}{x^{4} y^{3}}$

Passaggio 1.5.2.3.2

Elimina il fattore comune di $y^{4}$ e $y^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.3.2.1

Scomponi $y^{3}$ da $- y^{4} x^{3}$ .

$y' = \frac{y^{3} (- y x^{3})}{x^{4} y^{3}}$

Passaggio 1.5.2.3.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.3.2.2.1

Scomponi $y^{3}$ da $x^{4} y^{3}$ .

$y' = \frac{y^{3} (- y x^{3})}{y^{3} x^{4}}$

Passaggio 1.5.2.3.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{y^{3} (- y x^{3})}{y^{3} x^{4}}$

Passaggio 1.5.2.3.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{- y x^{3}}{x^{4}}$

Passaggio 1.5.2.3.3

Elimina il fattore comune di $x^{3}$ e $x^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.3.3.1

Scomponi $x^{3}$ da $- y x^{3}$ .

$y' = \frac{x^{3} (- y)}{x^{4}}$

Passaggio 1.5.2.3.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.3.3.2.1

Scomponi $x^{3}$ da $x^{4}$ .

$y' = \frac{x^{3} (- y)}{x^{3} x}$

Passaggio 1.5.2.3.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{x^{3} (- y)}{x^{3} x}$

Passaggio 1.5.2.3.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{- y}{x}$

Passaggio 1.5.2.3.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{y}{x}$

Passaggio 1.6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x}$

Passaggio 1.7

Calcola con $x = 2$ e $y = 1$ .

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Passaggio 1.7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$- \frac{y}{2}$

Passaggio 1.7.2

Sostituisci la variabile $y$ con $1$ nell'espressione.

$- \frac{1}{2}$

Passaggio 2

Inserisci i valori del coefficiente angolare e del punto nella formula di punto-pendenza e risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.1

Usa il coefficiente angolare $- \frac{1}{2}$ e un punto dato $(2, 1)$ da inserire al posto di $x_{1}$ e $y_{1}$ nell'equazione della retta passante per due punti $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , che è derivata dall'equazione della pendenza $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = - \frac{1}{2} \cdot (x - (2))$

Passaggio 2.2

Semplifica l'equazione e mantienila in forma di punto-pendenza.

$y - 1 = - \frac{1}{2} \cdot (x - 2)$

Passaggio 2.3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.3.1

Semplifica $- \frac{1}{2} \cdot (x - 2)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Riscrivi.

$y - 1 = 0 + 0 - \frac{1}{2} \cdot (x - 2)$

Passaggio 2.3.1.2

Semplifica aggiungendo gli zeri.

$y - 1 = - \frac{1}{2} \cdot (x - 2)$

Passaggio 2.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y - 1 = - \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} \cdot - 2$

Passaggio 2.3.1.4

$x$ e $\frac{1}{2}$ .

$y - 1 = - \frac{x}{2} - \frac{1}{2} \cdot - 2$

Passaggio 2.3.1.5

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.5.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{2}$ nel numeratore.

$y - 1 = - \frac{x}{2} + \frac{- 1}{2} \cdot - 2$

Passaggio 2.3.1.5.2

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$y - 1 = - \frac{x}{2} + \frac{- 1}{2} \cdot (2 (- 1))$

Passaggio 2.3.1.5.3

Elimina il fattore comune.

$y - 1 = - \frac{x}{2} + \frac{- 1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)$

Passaggio 2.3.1.5.4

Riscrivi l'espressione.

$y - 1 = - \frac{x}{2} - 1 \cdot - 1$

Passaggio 2.3.1.6

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$y - 1 = - \frac{x}{2} + 1$

Passaggio 2.3.2

Sposta tutti i termini non contenenti $y$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 2.3.2.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = - \frac{x}{2} + 1 + 1$

Passaggio 2.3.2.2

Somma $1$ e $1$ .

$y = - \frac{x}{2} + 2$

Passaggio 2.3.3

Scrivi in forma $y = m x + b$ .

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Passaggio 2.3.3.1

Riordina i termini.

$y = - (\frac{1}{2} x) + 2$

Passaggio 2.3.3.2

Rimuovi le parentesi.

$y = - \frac{1}{2} x + 2$

Passaggio 3