Calcolo Esempi

$x^{3} + y^{3} = 65$ , $(4, 1)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima e risolvi $x = 4$ e $y = 1$ per trovare il coefficiente angolare della linea tangente.

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Passaggio 1.1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (x^{3} + y^{3}) = \frac{d}{d x} (65)$

Passaggio 1.2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 1.2.1

Differenzia.

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Passaggio 1.2.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{3} + y^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Passaggio 1.2.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Passaggio 1.2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

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Passaggio 1.2.2.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = y$ .

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Passaggio 1.2.2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 1.2.2.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 x^{2} + 3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 1.2.2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 1.2.2.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} y'$

Passaggio 1.3

Poiché $65$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $65$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0$

Passaggio 1.4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' = 0$

Passaggio 1.5

Risolvi per $y'$ .

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Passaggio 1.5.1

Sottrai $3 x^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$3 y^{2} y' = - 3 x^{2}$

Passaggio 1.5.2

Dividi per $3 y^{2}$ ciascun termine in $3 y^{2} y' = - 3 x^{2}$ e semplifica.

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Passaggio 1.5.2.1

Dividi per $3 y^{2}$ ciascun termine in $3 y^{2} y' = - 3 x^{2}$ .

$\frac{3 y^{2} y'}{3 y^{2}} = \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2}}$

Passaggio 1.5.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 1.5.2.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 y^{2} y'}{3 y^{2}} = \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2}}$

Passaggio 1.5.2.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y^{2} y'}{y^{2}} = \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2}}$

Passaggio 1.5.2.2.2

Elimina il fattore comune di $y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y^{2} y'}{y^{2}} = \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2}}$

Passaggio 1.5.2.2.2.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2}}$

Passaggio 1.5.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 1.5.2.3.1

Elimina il fattore comune di $- 3$ e $3$ .

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Passaggio 1.5.2.3.1.1

Scomponi $3$ da $- 3 x^{2}$ .

$y' = \frac{3 (- x^{2})}{3 y^{2}}$

Passaggio 1.5.2.3.1.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 1.5.2.3.1.2.1

Scomponi $3$ da $3 y^{2}$ .

$y' = \frac{3 (- x^{2})}{3 (y^{2})}$

Passaggio 1.5.2.3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{3 (- x^{2})}{3 y^{2}}$

Passaggio 1.5.2.3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{- x^{2}}{y^{2}}$

Passaggio 1.5.2.3.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{x^{2}}{y^{2}}$

Passaggio 1.6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2}}{y^{2}}$

Passaggio 1.7

Calcola con $x = 4$ e $y = 1$ .

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Passaggio 1.7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $4$ nell'espressione.

$- \frac{{(4)}^{2}}{y^{2}}$

Passaggio 1.7.2

Sostituisci la variabile $y$ con $1$ nell'espressione.

$- \frac{{(4)}^{2}}{{(1)}^{2}}$

Passaggio 1.7.3

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$- \frac{16}{1^{2}}$

Passaggio 1.7.4

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$- \frac{16}{1}$

Passaggio 1.7.5

Dividi $16$ per $1$ .

$- 1 \cdot 16$

Passaggio 1.7.6

Moltiplica $- 1$ per $16$ .

$- 16$

Passaggio 2

Inserisci i valori del coefficiente angolare e del punto nella formula di punto-pendenza e risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.1

Usa il coefficiente angolare $- 16$ e un punto dato $(4, 1)$ da inserire al posto di $x_{1}$ e $y_{1}$ nell'equazione della retta passante per due punti $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , che è derivata dall'equazione della pendenza $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = - 16 \cdot (x - (4))$

Passaggio 2.2

Semplifica l'equazione e mantienila in forma di punto-pendenza.

$y - 1 = - 16 \cdot (x - 4)$

Passaggio 2.3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.3.1

Semplifica $- 16 \cdot (x - 4)$ .

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Passaggio 2.3.1.1

Riscrivi.

$y - 1 = 0 + 0 - 16 \cdot (x - 4)$

Passaggio 2.3.1.2

Semplifica aggiungendo gli zeri.

$y - 1 = - 16 \cdot (x - 4)$

Passaggio 2.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y - 1 = - 16 x - 16 \cdot - 4$

Passaggio 2.3.1.4

Moltiplica $- 16$ per $- 4$ .

$y - 1 = - 16 x + 64$

Passaggio 2.3.2

Sposta tutti i termini non contenenti $y$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 2.3.2.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = - 16 x + 64 + 1$

Passaggio 2.3.2.2

Somma $64$ e $1$ .

$y = - 16 x + 65$

Passaggio 3