Calcolo Esempi

$x^{2} + x y - y^{2} = 11$ , $(3, 1)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima e risolvi $x = 3$ e $y = 1$ per trovare il coefficiente angolare della linea tangente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (x^{2} + x y - y^{2}) = \frac{d}{d x} (11)$

Passaggio 1.2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + x y - y^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Passaggio 1.2.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Passaggio 1.2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [x y]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$2 x + x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Passaggio 1.2.2.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$2 x + x y' + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Passaggio 1.2.2.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 x + x y' + y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Passaggio 1.2.2.4

Moltiplica $y$ per $1$ .

$2 x + x y' + y + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Passaggio 1.2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- y^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- y^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$2 x + x y' + y - \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Passaggio 1.2.3.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

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Passaggio 1.2.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$2 x + x y' + y - (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 1.2.3.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x + x y' + y - (2 u \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 1.2.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$2 x + x y' + y - (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 1.2.3.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$2 x + x y' + y - (2 y y')$

Passaggio 1.2.3.4

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$2 x + x y' + y - 2 y y'$

Passaggio 1.2.4

Riordina i termini.

$x y' - 2 y y' + 2 x + y$

Passaggio 1.3

Poiché $11$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $11$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0$

Passaggio 1.4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$x y' - 2 y y' + 2 x + y = 0$

Passaggio 1.5

Risolvi per $y'$ .

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Passaggio 1.5.1

Sposta tutti i termini non contenenti $y'$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 1.5.1.1

Sottrai $2 x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x y' - 2 y y' + y = - 2 x$

Passaggio 1.5.1.2

Sottrai $y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x y' - 2 y y' = - 2 x - y$

Passaggio 1.5.2

Scomponi $y'$ da $x y' - 2 y y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.1

Scomponi $y'$ da $x y'$ .

$y' x - 2 y y' = - 2 x - y$

Passaggio 1.5.2.2

Scomponi $y'$ da $- 2 y y'$ .

$y' (x) + y' (- 2 y) = - 2 x - y$

Passaggio 1.5.2.3

Scomponi $y'$ da $y' (x) + y' (- 2 y)$ .

$y' (x - 2 y) = - 2 x - y$

Passaggio 1.5.3

Dividi per $x - 2 y$ ciascun termine in $y' (x - 2 y) = - 2 x - y$ e semplifica.

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Passaggio 1.5.3.1

Dividi per $x - 2 y$ ciascun termine in $y' (x - 2 y) = - 2 x - y$ .

$\frac{y' (x - 2 y)}{x - 2 y} = \frac{- 2 x}{x - 2 y} + \frac{- y}{x - 2 y}$

Passaggio 1.5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 1.5.3.2.1

Elimina il fattore comune di $x - 2 y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (x - 2 y)}{x - 2 y} = \frac{- 2 x}{x - 2 y} + \frac{- y}{x - 2 y}$

Passaggio 1.5.3.2.1.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{- 2 x}{x - 2 y} + \frac{- y}{x - 2 y}$

Passaggio 1.5.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.3.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = \frac{- 2 x - y}{x - 2 y}$

Passaggio 1.5.3.3.2

Scomponi $- 1$ da $- 2 x$ .

$y' = \frac{- (2 x) - y}{x - 2 y}$

Passaggio 1.5.3.3.3

Scomponi $- 1$ da $- y$ .

$y' = \frac{- (2 x) - (y)}{x - 2 y}$

Passaggio 1.5.3.3.4

Scomponi $- 1$ da $- (2 x) - (y)$ .

$y' = \frac{- (2 x + y)}{x - 2 y}$

Passaggio 1.5.3.3.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.3.5.1

Riscrivi $- (2 x + y)$ come $- 1 (2 x + y)$ .

$y' = \frac{- 1 (2 x + y)}{x - 2 y}$

Passaggio 1.5.3.3.5.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{2 x + y}{x - 2 y}$

Passaggio 1.6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x + y}{x - 2 y}$

Passaggio 1.7

Calcola con $x = 3$ e $y = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $3$ nell'espressione.

$- \frac{2 (3) + y}{(3) - 2 y}$

Passaggio 1.7.2

Sostituisci la variabile $y$ con $1$ nell'espressione.

$- \frac{2 (3) + 1}{(3) - 2 \cdot 1}$

Passaggio 1.7.3

Rimuovi le parentesi.

$- \frac{2 (3) + 1}{(3) - 2 \cdot 1}$

Passaggio 1.7.4

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 1.7.4.1

Moltiplica $2$ per $3$ .

$- \frac{6 + 1}{3 - 2 \cdot 1}$

Passaggio 1.7.4.2

Somma $6$ e $1$ .

$- \frac{7}{3 - 2 \cdot 1}$

Passaggio 1.7.5

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.5.1

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$- \frac{7}{3 - 2}$

Passaggio 1.7.5.2

Sottrai $2$ da $3$ .

$- \frac{7}{1}$

Passaggio 1.7.6

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 1.7.6.1

Dividi $7$ per $1$ .

$- 1 \cdot 7$

Passaggio 1.7.6.2

Moltiplica $- 1$ per $7$ .

$- 7$

Passaggio 2

Inserisci i valori del coefficiente angolare e del punto nella formula di punto-pendenza e risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.1

Usa il coefficiente angolare $- 7$ e un punto dato $(3, 1)$ da inserire al posto di $x_{1}$ e $y_{1}$ nell'equazione della retta passante per due punti $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , che è derivata dall'equazione della pendenza $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = - 7 \cdot (x - (3))$

Passaggio 2.2

Semplifica l'equazione e mantienila in forma di punto-pendenza.

$y - 1 = - 7 \cdot (x - 3)$

Passaggio 2.3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.3.1

Semplifica $- 7 \cdot (x - 3)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Riscrivi.

$y - 1 = 0 + 0 - 7 \cdot (x - 3)$

Passaggio 2.3.1.2

Semplifica aggiungendo gli zeri.

$y - 1 = - 7 \cdot (x - 3)$

Passaggio 2.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y - 1 = - 7 x - 7 \cdot - 3$

Passaggio 2.3.1.4

Moltiplica $- 7$ per $- 3$ .

$y - 1 = - 7 x + 21$

Passaggio 2.3.2

Sposta tutti i termini non contenenti $y$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 2.3.2.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = - 7 x + 21 + 1$

Passaggio 2.3.2.2

Somma $21$ e $1$ .

$y = - 7 x + 22$

Passaggio 3