Calcolo Esempi

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{y^{2}}{8} = 16$ , $(4, 8)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima e risolvi $x = 4$ e $y = 8$ per trovare il coefficiente angolare della linea tangente.

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Passaggio 1.1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (\frac{x^{2}}{2} + \frac{y^{2}}{8}) = \frac{d}{d x} (16)$

Passaggio 1.2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{x^{2}}{2} + \frac{y^{2}}{8}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{8}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{8}]$

Passaggio 1.2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{x^{2}}{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{8}]$

Passaggio 1.2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{1}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{8}]$

Passaggio 1.2.2.3

$2$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2} x + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{8}]$

Passaggio 1.2.2.4

$\frac{2}{2}$ e $x$ .

$\frac{2 x}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{8}]$

Passaggio 1.2.2.5

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{8}]$

Passaggio 1.2.2.5.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{8}]$

Passaggio 1.2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{8}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Poiché $\frac{1}{8}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{y^{2}}{8}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{8} \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$x + \frac{1}{8} \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Passaggio 1.2.3.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$x + \frac{1}{8} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 1.2.3.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$x + \frac{1}{8} (2 u \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 1.2.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$x + \frac{1}{8} (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 1.2.3.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$x + \frac{1}{8} (2 y y')$

Passaggio 1.2.3.4

$2$ e $\frac{1}{8}$ .

$x + \frac{2}{8} (y y')$

Passaggio 1.2.3.5

$y$ e $\frac{2}{8}$ .

$x + \frac{y \cdot 2}{8} y'$

Passaggio 1.2.3.6

$\frac{y \cdot 2}{8}$ e $y'$ .

$x + \frac{y \cdot 2 y'}{8}$

Passaggio 1.2.3.7

Sposta $2$ alla sinistra di $y$ .

$x + \frac{2 \cdot y y'}{8}$

Passaggio 1.2.3.8

Elimina il fattore comune di $2$ e $8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.8.1

Scomponi $2$ da $2 y y'$ .

$x + \frac{2 (y y')}{8}$

Passaggio 1.2.3.8.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.8.2.1

Scomponi $2$ da $8$ .

$x + \frac{2 (y y')}{2 \cdot 4}$

Passaggio 1.2.3.8.2.2

Elimina il fattore comune.

$x + \frac{2 (y y')}{2 \cdot 4}$

Passaggio 1.2.3.8.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x + \frac{y y'}{4}$

Passaggio 1.3

Poiché $16$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $16$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0$

Passaggio 1.4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$x + \frac{y y'}{4} = 0$

Passaggio 1.5

Risolvi per $y'$ .

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Passaggio 1.5.1

Sottrai $x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{y y'}{4} = - x$

Passaggio 1.5.2

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $4$ .

$4 \frac{y y'}{4} = 4 (- x)$

Passaggio 1.5.3

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.1.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$4 \frac{y y'}{4} = 4 (- x)$

Passaggio 1.5.3.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$y y' = 4 (- x)$

Passaggio 1.5.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.2.1

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$y y' = - 4 x$

Passaggio 1.5.4

Dividi per $y$ ciascun termine in $y y' = - 4 x$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.1

Dividi per $y$ ciascun termine in $y y' = - 4 x$ .

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 4 x}{y}$

Passaggio 1.5.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.2.1

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 4 x}{y}$

Passaggio 1.5.4.2.1.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{- 4 x}{y}$

Passaggio 1.5.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{4 x}{y}$

Passaggio 1.6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{4 x}{y}$

Passaggio 1.7

Calcola con $x = 4$ e $y = 8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $4$ nell'espressione.

$- \frac{4 (4)}{y}$

Passaggio 1.7.2

Sostituisci la variabile $y$ con $8$ nell'espressione.

$- \frac{4 (4)}{8}$

Passaggio 1.7.3

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.3.1

Scomponi $4$ da $8$ .

$- \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 2}$

Passaggio 1.7.3.2

Elimina il fattore comune.

$- \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 2}$

Passaggio 1.7.3.3

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{4}{2}$

Passaggio 1.7.4

Elimina il fattore comune di $4$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.4.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$- \frac{2 \cdot 2}{2}$

Passaggio 1.7.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.4.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$- \frac{2 \cdot 2}{2 (1)}$

Passaggio 1.7.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$- \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.7.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{2}{1}$

Passaggio 1.7.4.2.4

Dividi $2$ per $1$ .

$- 1 \cdot 2$

Passaggio 1.7.5

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- 2$

Passaggio 2

Inserisci i valori del coefficiente angolare e del punto nella formula di punto-pendenza e risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.1

Usa il coefficiente angolare $- 2$ e un punto dato $(4, 8)$ da inserire al posto di $x_{1}$ e $y_{1}$ nell'equazione della retta passante per due punti $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , che è derivata dall'equazione della pendenza $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (8) = - 2 \cdot (x - (4))$

Passaggio 2.2

Semplifica l'equazione e mantienila in forma di punto-pendenza.

$y - 8 = - 2 \cdot (x - 4)$

Passaggio 2.3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.3.1

Semplifica $- 2 \cdot (x - 4)$ .

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Passaggio 2.3.1.1

Riscrivi.

$y - 8 = 0 + 0 - 2 \cdot (x - 4)$

Passaggio 2.3.1.2

Semplifica aggiungendo gli zeri.

$y - 8 = - 2 \cdot (x - 4)$

Passaggio 2.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y - 8 = - 2 x - 2 \cdot - 4$

Passaggio 2.3.1.4

Moltiplica $- 2$ per $- 4$ .

$y - 8 = - 2 x + 8$

Passaggio 2.3.2

Sposta tutti i termini non contenenti $y$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 2.3.2.1

Somma $8$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = - 2 x + 8 + 8$

Passaggio 2.3.2.2

Somma $8$ e $8$ .

$y = - 2 x + 16$

Passaggio 3