Calcolo Esempi

$\sin (y) = 5 x^{4} - 5$ , $(1, π)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima e risolvi $x = 1$ e $y = π$ per trovare il coefficiente angolare della retta tangente.

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Passaggio 1.1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (\sin (y)) = \frac{d}{d x} (5 x^{4} - 5)$

Passaggio 1.2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 1.2.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = y$ .

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Passaggio 1.2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 1.2.1.2

La derivata di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 1.2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$\cos (y) \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 1.2.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$\cos (y) y'$

Passaggio 1.3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 1.3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $5 x^{4} - 5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Passaggio 1.3.2

Calcola $\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

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Passaggio 1.3.2.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x^{4}$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Passaggio 1.3.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 5]$

Passaggio 1.3.2.3

Moltiplica $4$ per $5$ .

$20 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 5]$

Passaggio 1.3.3

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 1.3.3.1

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$20 x^{3} + 0$

Passaggio 1.3.3.2

Somma $20 x^{3}$ e $0$ .

$20 x^{3}$

Passaggio 1.4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$\cos (y) y' = 20 x^{3}$

Passaggio 1.5

Dividi per $\cos (y)$ ciascun termine in $\cos (y) y' = 20 x^{3}$ e semplifica.

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Passaggio 1.5.1

Dividi per $\cos (y)$ ciascun termine in $\cos (y) y' = 20 x^{3}$ .

$\frac{\cos (y) y'}{\cos (y)} = \frac{20 x^{3}}{\cos (y)}$

Passaggio 1.5.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 1.5.2.1

Elimina il fattore comune di $\cos (y)$ .

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Passaggio 1.5.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\cos (y) y'}{\cos (y)} = \frac{20 x^{3}}{\cos (y)}$

Passaggio 1.5.2.1.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{20 x^{3}}{\cos (y)}$

Passaggio 1.6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{20 x^{3}}{\cos (y)}$

Passaggio 1.7

Calcola con $x = 1$ e $y = π$ .

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Passaggio 1.7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$\frac{20 {(1)}^{3}}{\cos (y)}$

Passaggio 1.7.2

Sostituisci la variabile $y$ con $π$ nell'espressione.

$\frac{20 {(1)}^{3}}{\cos (π)}$

Passaggio 1.7.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{20 \cdot 1}{\cos (π)}$

Passaggio 1.7.4

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 1.7.4.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$\frac{20 \cdot 1}{- \cos (0)}$

Passaggio 1.7.4.2

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$\frac{20 \cdot 1}{- 1 \cdot 1}$

Passaggio 1.7.4.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{20 \cdot 1}{- 1}$

Passaggio 1.7.5

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 1.7.5.1

Moltiplica $20$ per $1$ .

$\frac{20}{- 1}$

Passaggio 1.7.5.2

Dividi $20$ per $- 1$ .

$- 20$

Passaggio 2

Inserisci i valori del coefficiente angolare e del punto nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare e risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.1

Sostituisci il coefficiente angolare $- 20$ e un punto dato $(1, π)$ a $x_{1}$ e $y_{1}$ nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , che è derivata dall'equazione del coefficiente angolare $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (π) = - 20 \cdot (x - (1))$

Passaggio 2.2

Semplifica l'equazione e mantienila nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare.

$y - π = - 20 \cdot (x - 1)$

Passaggio 2.3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.3.1

Semplifica $- 20 \cdot (x - 1)$ .

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Passaggio 2.3.1.1

Riscrivi.

$y - π = 0 + 0 - 20 \cdot (x - 1)$

Passaggio 2.3.1.2

Semplifica aggiungendo gli zeri.

$y - π = - 20 \cdot (x - 1)$

Passaggio 2.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y - π = - 20 x - 20 \cdot - 1$

Passaggio 2.3.1.4

Moltiplica $- 20$ per $- 1$ .

$y - π = - 20 x + 20$

Passaggio 2.3.2

Somma $π$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = - 20 x + 20 + π$

Passaggio 3