Calcolo Esempi

$\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y^{4}} = 2$ , $(1, 1)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima e risolvi $x = 1$ e $y = 1$ per trovare il coefficiente angolare della linea tangente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Riscrivi il lato sinistro con esponenti razionali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{x}$ come $x^{\frac{1}{3}}$ .

$x^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{y^{4}} = 2$

Passaggio 1.1.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{y^{4}}$ come $y^{\frac{4}{3}}$ .

$x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{4}{3}} = 2$

Passaggio 1.2

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{4}{3}}) = \frac{d}{d x} (2)$

Passaggio 1.3

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{4}{3}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$

Passaggio 1.3.2

Calcola $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$

Passaggio 1.3.2.2

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$

Passaggio 1.3.2.3

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$

Passaggio 1.3.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$

Passaggio 1.3.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.5.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$

Passaggio 1.3.2.5.2

Sottrai $3$ da $1$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$

Passaggio 1.3.2.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$

Passaggio 1.3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{4}{3}}$ e $g (x) = y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{d}{d u} [u^{\frac{4}{3}}] \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 1.3.3.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{4}{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{4}{3} u^{\frac{4}{3} - 1} \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 1.3.3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{4}{3} y^{\frac{4}{3} - 1} \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 1.3.3.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{4}{3} y^{\frac{4}{3} - 1} y'$

Passaggio 1.3.3.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{4}{3} y^{\frac{4}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} y'$

Passaggio 1.3.3.4

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{4}{3} y^{\frac{4}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} y'$

Passaggio 1.3.3.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{4}{3} y^{\frac{4 - 1 \cdot 3}{3}} y'$

Passaggio 1.3.3.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.6.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{4}{3} y^{\frac{4 - 3}{3}} y'$

Passaggio 1.3.3.6.2

Sottrai $3$ da $4$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{4}{3} y^{\frac{1}{3}} y'$

Passaggio 1.3.3.7

$\frac{4}{3}$ e $y^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{4 y^{\frac{1}{3}}}{3} y'$

Passaggio 1.3.3.8

$\frac{4 y^{\frac{1}{3}}}{3}$ e $y'$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{4 y^{\frac{1}{3}} y'}{3}$

Passaggio 1.3.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4 y^{\frac{1}{3}} y'}{3}$

Passaggio 1.3.4.2

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4 y^{\frac{1}{3}} y'}{3}$

Passaggio 1.4

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0$

Passaggio 1.5

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4 y^{\frac{1}{3}} y'}{3} = 0$

Passaggio 1.6

Risolvi per $y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.1

Riordina i fattori in $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4 y^{\frac{1}{3}} y'}{3}$ .

$\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4 y' y^{\frac{1}{3}}}{3} = 0$

Passaggio 1.6.2

Sottrai $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{4 y' y^{\frac{1}{3}}}{3} = - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 1.6.3

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $\frac{3}{4}$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{4 y' y^{\frac{1}{3}}}{3} = \frac{3}{4} (- \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Passaggio 1.6.4

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.4.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.4.1.1

Semplifica $\frac{3}{4} \cdot \frac{4 y' y^{\frac{1}{3}}}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.4.1.1.1

Combina.

$\frac{3 (4 y' y^{\frac{1}{3}})}{4 \cdot 3} = \frac{3}{4} (- \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Passaggio 1.6.4.1.1.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 (4 y' y^{\frac{1}{3}})}{4 \cdot 3} = \frac{3}{4} (- \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Passaggio 1.6.4.1.1.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{4 y' y^{\frac{1}{3}}}{4} = \frac{3}{4} (- \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Passaggio 1.6.4.1.1.4

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 y' y^{\frac{1}{3}}}{4} = \frac{3}{4} (- \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Passaggio 1.6.4.1.1.5

Dividi $y' y^{\frac{1}{3}}$ per $1$ .

$y' y^{\frac{1}{3}} = \frac{3}{4} (- \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Passaggio 1.6.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.4.2.1

Semplifica $\frac{3}{4} (- \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.4.2.1.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.4.2.1.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ nel numeratore.

$y' y^{\frac{1}{3}} = \frac{3}{4} \cdot \frac{- 1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 1.6.4.2.1.1.2

Elimina il fattore comune.

$y' y^{\frac{1}{3}} = \frac{3}{4} \cdot \frac{- 1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 1.6.4.2.1.1.3

Riscrivi l'espressione.

$y' y^{\frac{1}{3}} = \frac{1}{4} \cdot \frac{- 1}{x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 1.6.4.2.1.2

Moltiplica $\frac{1}{4}$ per $\frac{- 1}{x^{\frac{2}{3}}}$ .

$y' y^{\frac{1}{3}} = \frac{- 1}{4 x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 1.6.4.2.1.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' y^{\frac{1}{3}} = - \frac{1}{4 x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 1.6.5

Dividi per $y^{\frac{1}{3}}$ ciascun termine in $y' y^{\frac{1}{3}} = - \frac{1}{4 x^{\frac{2}{3}}}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.5.1

Dividi per $y^{\frac{1}{3}}$ ciascun termine in $y' y^{\frac{1}{3}} = - \frac{1}{4 x^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{y' y^{\frac{1}{3}}}{y^{\frac{1}{3}}} = \frac{- \frac{1}{4 x^{\frac{2}{3}}}}{y^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 1.6.5.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.5.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' y^{\frac{1}{3}}}{y^{\frac{1}{3}}} = \frac{- \frac{1}{4 x^{\frac{2}{3}}}}{y^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 1.6.5.2.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{- \frac{1}{4 x^{\frac{2}{3}}}}{y^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 1.6.5.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.5.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$y' = - \frac{1}{4 x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{1}{y^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 1.6.5.3.2

Moltiplica $\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}}$ per $\frac{1}{4 x^{\frac{2}{3}}}$ .

$y' = - \frac{1}{y^{\frac{1}{3}} (4 x^{\frac{2}{3}})}$

Passaggio 1.6.5.3.3

Sposta $4$ alla sinistra di $y^{\frac{1}{3}}$ .

$y' = - \frac{1}{4 y^{\frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 1.7

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1}{4 y^{\frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 1.8

Calcola con $x = 1$ e $y = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$- \frac{1}{4 y^{\frac{1}{3}} {(1)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 1.8.2

Sostituisci la variabile $y$ con $1$ nell'espressione.

$- \frac{1}{4 {(1)}^{\frac{1}{3}} {(1)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 1.8.3

Moltiplica ${(1)}^{\frac{1}{3}}$ per ${(1)}^{\frac{2}{3}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.3.1

Sposta ${(1)}^{\frac{2}{3}}$ .

$- \frac{1}{4 ({(1)}^{\frac{2}{3}} {(1)}^{\frac{1}{3}})}$

Passaggio 1.8.3.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \frac{1}{4 \cdot 1^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}}}$

Passaggio 1.8.3.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- \frac{1}{4 \cdot 1^{\frac{2 + 1}{3}}}$

Passaggio 1.8.3.4

Somma $2$ e $1$ .

$- \frac{1}{4 \cdot 1^{\frac{3}{3}}}$

Passaggio 1.8.3.5

Dividi $3$ per $3$ .

$- \frac{1}{4 \cdot 1^{1}}$

Passaggio 1.8.4

Semplifica $4 \cdot 1^{1}$ .

$- \frac{1}{4}$

Passaggio 2

Inserisci i valori del coefficiente angolare e del punto nella formula di punto-pendenza e risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Usa il coefficiente angolare $- \frac{1}{4}$ e un punto dato $(1, 1)$ da inserire al posto di $x_{1}$ e $y_{1}$ nell'equazione della retta passante per due punti $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , che è derivata dall'equazione della pendenza $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = - \frac{1}{4} \cdot (x - (1))$

Passaggio 2.2

Semplifica l'equazione e mantienila in forma di punto-pendenza.

$y - 1 = - \frac{1}{4} \cdot (x - 1)$

Passaggio 2.3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Semplifica $- \frac{1}{4} \cdot (x - 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Riscrivi.

$y - 1 = 0 + 0 - \frac{1}{4} \cdot (x - 1)$

Passaggio 2.3.1.2

Semplifica aggiungendo gli zeri.

$y - 1 = - \frac{1}{4} \cdot (x - 1)$

Passaggio 2.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y - 1 = - \frac{1}{4} x - \frac{1}{4} \cdot - 1$

Passaggio 2.3.1.4

$x$ e $\frac{1}{4}$ .

$y - 1 = - \frac{x}{4} - \frac{1}{4} \cdot - 1$

Passaggio 2.3.1.5

Moltiplica $- \frac{1}{4} \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.5.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$y - 1 = - \frac{x}{4} + 1 (\frac{1}{4})$

Passaggio 2.3.1.5.2

Moltiplica $\frac{1}{4}$ per $1$ .

$y - 1 = - \frac{x}{4} + \frac{1}{4}$

Passaggio 2.3.2

Sposta tutti i termini non contenenti $y$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = - \frac{x}{4} + \frac{1}{4} + 1$

Passaggio 2.3.2.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$y = - \frac{x}{4} + \frac{1}{4} + \frac{4}{4}$

Passaggio 2.3.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = - \frac{x}{4} + \frac{1 + 4}{4}$

Passaggio 2.3.2.4

Somma $1$ e $4$ .

$y = - \frac{x}{4} + \frac{5}{4}$

Passaggio 2.3.3

Scrivi in forma $y = m x + b$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Riordina i termini.

$y = - (\frac{1}{4} x) + \frac{5}{4}$

Passaggio 2.3.3.2

Rimuovi le parentesi.

$y = - \frac{1}{4} x + \frac{5}{4}$

Passaggio 3