Calcolo Esempi

$\frac{lim_{x \to 0} {(1 + h)}^{4} - 1}{h}$

Passaggio 1

Calcola il limite di ${(1 + h)}^{4} - 1$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$\frac{{(1 + h)}^{4} - 1}{h}$

Passaggio 2

Semplifica la risposta.

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Passaggio 2.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 2.1.1

Riscrivi ${(1 + h)}^{4}$ come ${({(1 + h)}^{2})}^{2}$ .

$\frac{{({(1 + h)}^{2})}^{2} - 1}{h}$

Passaggio 2.1.2

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\frac{{({(1 + h)}^{2})}^{2} - 1^{2}}{h}$

Passaggio 2.1.3

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = {(1 + h)}^{2}$ e $b = 1$ .

$\frac{({(1 + h)}^{2} + 1) ({(1 + h)}^{2} - 1)}{h}$

Passaggio 2.1.4

Semplifica.

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Passaggio 2.1.4.1

Riscrivi ${(1 + h)}^{2}$ come $(1 + h) (1 + h)$ .

$\frac{((1 + h) (1 + h) + 1) ({(1 + h)}^{2} - 1)}{h}$

Passaggio 2.1.4.2

Espandi $(1 + h) (1 + h)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 2.1.4.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(1 (1 + h) + h (1 + h) + 1) ({(1 + h)}^{2} - 1)}{h}$

Passaggio 2.1.4.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(1 \cdot 1 + 1 h + h (1 + h) + 1) ({(1 + h)}^{2} - 1)}{h}$

Passaggio 2.1.4.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(1 \cdot 1 + 1 h + h \cdot 1 + h \cdot h + 1) ({(1 + h)}^{2} - 1)}{h}$

Passaggio 2.1.4.3

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 2.1.4.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.1.4.3.1.1

Moltiplica $1$ per $1$ .

$\frac{(1 + 1 h + h \cdot 1 + h \cdot h + 1) ({(1 + h)}^{2} - 1)}{h}$

Passaggio 2.1.4.3.1.2

Moltiplica $h$ per $1$ .

$\frac{(1 + h + h \cdot 1 + h \cdot h + 1) ({(1 + h)}^{2} - 1)}{h}$

Passaggio 2.1.4.3.1.3

Moltiplica $h$ per $1$ .

$\frac{(1 + h + h + h \cdot h + 1) ({(1 + h)}^{2} - 1)}{h}$

Passaggio 2.1.4.3.1.4

Moltiplica $h$ per $h$ .

$\frac{(1 + h + h + h^{2} + 1) ({(1 + h)}^{2} - 1)}{h}$

Passaggio 2.1.4.3.2

Somma $h$ e $h$ .

$\frac{(1 + 2 h + h^{2} + 1) ({(1 + h)}^{2} - 1)}{h}$

Passaggio 2.1.4.4

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{(2 h + h^{2} + 2) ({(1 + h)}^{2} - 1)}{h}$

Passaggio 2.1.4.5

Riordina i termini.

$\frac{(h^{2} + 2 h + 2) ({(1 + h)}^{2} - 1)}{h}$

Passaggio 2.1.4.6

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\frac{(h^{2} + 2 h + 2) ({(1 + h)}^{2} - 1^{2})}{h}$

Passaggio 2.1.4.7

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 1 + h$ e $b = 1$ .

$\frac{(h^{2} + 2 h + 2) ((1 + h + 1) (1 + h - 1))}{h}$

Passaggio 2.1.4.8

Semplifica.

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Passaggio 2.1.4.8.1

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{(h^{2} + 2 h + 2) ((h + 2) (1 + h - 1))}{h}$

Passaggio 2.1.4.8.2

Sottrai $1$ da $1$ .

$\frac{(h^{2} + 2 h + 2) ((h + 2) (h + 0))}{h}$

Passaggio 2.1.4.8.3

Somma $h$ e $0$ .

$\frac{(h^{2} + 2 h + 2) ((h + 2) h)}{h}$

$\frac{(h^{2} + 2 h + 2) (h + 2) h}{h}$

Passaggio 2.2

Elimina il fattore comune di $h$ .

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Passaggio 2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(h^{2} + 2 h + 2) (h + 2) h}{h}$

Passaggio 2.2.2

Dividi $(h^{2} + 2 h + 2) (h + 2)$ per $1$ .

$(h^{2} + 2 h + 2) (h + 2)$

Passaggio 2.3

Espandi $(h^{2} + 2 h + 2) (h + 2)$ moltiplicando ciascun termine della prima espressione per ciascun termine della seconda espressione.

$h^{2} h + h^{2} \cdot 2 + 2 h \cdot h + 2 h \cdot 2 + 2 h + 2 \cdot 2$

Passaggio 2.4

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.4.1

Moltiplica $h^{2}$ per $h$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 2.4.1.1

Moltiplica $h^{2}$ per $h$ .

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Passaggio 2.4.1.1.1

Eleva $h$ alla potenza di $1$ .

$h^{2} h^{1} + h^{2} \cdot 2 + 2 h \cdot h + 2 h \cdot 2 + 2 h + 2 \cdot 2$

Passaggio 2.4.1.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$h^{2 + 1} + h^{2} \cdot 2 + 2 h \cdot h + 2 h \cdot 2 + 2 h + 2 \cdot 2$

Passaggio 2.4.1.2

Somma $2$ e $1$ .

$h^{3} + h^{2} \cdot 2 + 2 h \cdot h + 2 h \cdot 2 + 2 h + 2 \cdot 2$

Passaggio 2.4.2

Sposta $2$ alla sinistra di $h^{2}$ .

$h^{3} + 2 \cdot h^{2} + 2 h \cdot h + 2 h \cdot 2 + 2 h + 2 \cdot 2$

Passaggio 2.4.3

Moltiplica $h$ per $h$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 2.4.3.1

Sposta $h$ .

$h^{3} + 2 h^{2} + 2 (h \cdot h) + 2 h \cdot 2 + 2 h + 2 \cdot 2$

Passaggio 2.4.3.2

Moltiplica $h$ per $h$ .

$h^{3} + 2 h^{2} + 2 h^{2} + 2 h \cdot 2 + 2 h + 2 \cdot 2$

Passaggio 2.4.4

Moltiplica $2$ per $2$ .

$h^{3} + 2 h^{2} + 2 h^{2} + 4 h + 2 h + 2 \cdot 2$

Passaggio 2.4.5

Moltiplica $2$ per $2$ .

$h^{3} + 2 h^{2} + 2 h^{2} + 4 h + 2 h + 4$

Passaggio 2.5

Somma $2 h^{2}$ e $2 h^{2}$ .

$h^{3} + 4 h^{2} + 4 h + 2 h + 4$

Passaggio 2.6

Somma $4 h$ e $2 h$ .

$h^{3} + 4 h^{2} + 6 h + 4$