Calcolo Esempi

$y = \sin (7 x) + \sin^{2} (7 x)$ , $(0, 0)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima e risolvi $x = 0$ e $y = 0$ per trovare il coefficiente angolare della retta tangente.

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Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\sin (7 x) + \sin^{2} (7 x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\sin (7 x)] + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (7 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (7 x)] + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (7 x)]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\sin (7 x)]$ .

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Passaggio 1.2.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 7 x$ .

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Passaggio 1.2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $7 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (7 x)]$

Passaggio 1.2.1.2

La derivata di $\sin (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (7 x)]$

Passaggio 1.2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $7 x$ .

$\cos (7 x) \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (7 x)]$

Passaggio 1.2.2

Poiché $7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $7 x$ rispetto a $x$ è $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (7 x) (7 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (7 x)]$

Passaggio 1.2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\cos (7 x) (7 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (7 x)]$

Passaggio 1.2.4

Moltiplica $7$ per $1$ .

$\cos (7 x) \cdot 7 + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (7 x)]$

Passaggio 1.2.5

Sposta $7$ alla sinistra di $\cos (7 x)$ .

$7 \cos (7 x) + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (7 x)]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [\sin^{2} (7 x)]$ .

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Passaggio 1.3.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \sin (7 x)$ .

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Passaggio 1.3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $\sin (7 x)$ .

$7 \cos (7 x) + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (7 x)]$

Passaggio 1.3.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$7 \cos (7 x) + 2 u_{2} \frac{d}{d x} [\sin (7 x)]$

Passaggio 1.3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $\sin (7 x)$ .

$7 \cos (7 x) + 2 \sin (7 x) \frac{d}{d x} [\sin (7 x)]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 7 x$ .

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Passaggio 1.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{3}$ come $7 x$ .

$7 \cos (7 x) + 2 \sin (7 x) (\frac{d}{d u_{3}} [\sin (u_{3})] \frac{d}{d x} [7 x])$

Passaggio 1.3.2.2

La derivata di $\sin (u_{3})$ rispetto a $u_{3}$ è $\cos (u_{3})$ .

$7 \cos (7 x) + 2 \sin (7 x) (\cos (u_{3}) \frac{d}{d x} [7 x])$

Passaggio 1.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{3}$ con $7 x$ .

$7 \cos (7 x) + 2 \sin (7 x) (\cos (7 x) \frac{d}{d x} [7 x])$

Passaggio 1.3.3

Poiché $7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $7 x$ rispetto a $x$ è $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$7 \cos (7 x) + 2 \sin (7 x) (\cos (7 x) (7 \frac{d}{d x} [x]))$

Passaggio 1.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$7 \cos (7 x) + 2 \sin (7 x) (\cos (7 x) (7 \cdot 1))$

Passaggio 1.3.5

Moltiplica $7$ per $1$ .

$7 \cos (7 x) + 2 \sin (7 x) (\cos (7 x) \cdot 7)$

Passaggio 1.3.6

Sposta $7$ alla sinistra di $\cos (7 x)$ .

$7 \cos (7 x) + 2 \sin (7 x) (7 \cdot \cos (7 x))$

Passaggio 1.3.7

Moltiplica $7$ per $2$ .

$7 \cos (7 x) + 14 \sin (7 x) \cos (7 x)$

Passaggio 1.4

Riordina i termini.

$14 \cos (7 x) \sin (7 x) + 7 \cos (7 x)$

Passaggio 1.5

Calcola la derivata per $x = 0$ .

$14 \cos (7 (0)) \sin (7 (0)) + 7 \cos (7 (0))$

Passaggio 1.6

Semplifica.

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Passaggio 1.6.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.6.1.1

Moltiplica $7$ per $0$ .

$14 \cos (0) \sin (7 (0)) + 7 \cos (7 (0))$

Passaggio 1.6.1.2

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$14 \cdot 1 \sin (7 (0)) + 7 \cos (7 (0))$

Passaggio 1.6.1.3

Moltiplica $14$ per $1$ .

$14 \sin (7 (0)) + 7 \cos (7 (0))$

Passaggio 1.6.1.4

Moltiplica $7$ per $0$ .

$14 \sin (0) + 7 \cos (7 (0))$

Passaggio 1.6.1.5

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$14 \cdot 0 + 7 \cos (7 (0))$

Passaggio 1.6.1.6

Moltiplica $14$ per $0$ .

$0 + 7 \cos (7 (0))$

Passaggio 1.6.1.7

Moltiplica $7$ per $0$ .

$0 + 7 \cos (0)$

Passaggio 1.6.1.8

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$0 + 7 \cdot 1$

Passaggio 1.6.1.9

Moltiplica $7$ per $1$ .

$0 + 7$

Passaggio 1.6.2

Somma $0$ e $7$ .

$7$

Passaggio 2

Inserisci i valori del coefficiente angolare e del punto nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare e risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.1

Sostituisci il coefficiente angolare $7$ e un punto dato $(0, 0)$ a $x_{1}$ e $y_{1}$ nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , che è derivata dall'equazione del coefficiente angolare $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (0) = 7 \cdot (x - (0))$

Passaggio 2.2

Semplifica l'equazione e mantienila nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare.

$y + 0 = 7 \cdot (x + 0)$

Passaggio 2.3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.3.1

Somma $y$ e $0$ .

$y = 7 \cdot (x + 0)$

Passaggio 2.3.2

Somma $x$ e $0$ .

$y = 7 x$

Passaggio 3