Calcolo Esempi

$y = 3 x - 2 \sqrt{x}$ , $(1, 1)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima e risolvi $x = 1$ e $y = 1$ per trovare il coefficiente angolare della linea tangente.

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Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x - 2 \sqrt{x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt{x}]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Passaggio 1.2.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt{x}]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt{x}]$

Passaggio 1.2.3

Moltiplica $3$ per $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt{x}]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 2 \sqrt{x}]$ .

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Passaggio 1.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$3 + \frac{d}{d x} [- 2 x^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 1.3.2

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$3 - 2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 1.3.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$3 - 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Passaggio 1.3.4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$3 - 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Passaggio 1.3.5

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$3 - 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Passaggio 1.3.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$3 - 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Passaggio 1.3.7

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 1.3.7.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$3 - 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Passaggio 1.3.7.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$3 - 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Passaggio 1.3.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$3 - 2 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Passaggio 1.3.9

$\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$3 - 2 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Passaggio 1.3.10

$- 2$ e $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$3 + \frac{- 2 x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Passaggio 1.3.11

Sposta $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 + \frac{- 2}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.3.12

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$3 + \frac{2 \cdot - 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.3.13

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 1.3.13.1

Scomponi $2$ da $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$3 + \frac{2 \cdot - 1}{2 (x^{\frac{1}{2}})}$

Passaggio 1.3.13.2

Elimina il fattore comune.

$3 + \frac{2 \cdot - 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.3.13.3

Riscrivi l'espressione.

$3 + \frac{- 1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.3.14

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$3 - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.4

Calcola la derivata per $x = 1$ .

$3 - \frac{1}{{(1)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.5

Semplifica.

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Passaggio 1.5.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.5.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$3 - \frac{1}{1}$

Passaggio 1.5.1.2

Elimina il fattore comune di $1$ .

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Passaggio 1.5.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$3 - \frac{1}{1}$

Passaggio 1.5.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$3 - 1 \cdot 1$

Passaggio 1.5.1.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$3 - 1$

Passaggio 1.5.2

Sottrai $1$ da $3$ .

$2$

Passaggio 2

Inserisci i valori del coefficiente angolare e del punto nella formula di punto-pendenza e risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.1

Usa il coefficiente angolare $2$ e un punto dato $(1, 1)$ da inserire al posto di $x_{1}$ e $y_{1}$ nell'equazione della retta passante per due punti $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , che è derivata dall'equazione della pendenza $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = 2 \cdot (x - (1))$

Passaggio 2.2

Semplifica l'equazione e mantienila in forma di punto-pendenza.

$y - 1 = 2 \cdot (x - 1)$

Passaggio 2.3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.3.1

Semplifica $2 \cdot (x - 1)$ .

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Passaggio 2.3.1.1

Riscrivi.

$y - 1 = 0 + 0 + 2 \cdot (x - 1)$

Passaggio 2.3.1.2

Semplifica aggiungendo gli zeri.

$y - 1 = 2 \cdot (x - 1)$

Passaggio 2.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y - 1 = 2 x + 2 \cdot - 1$

Passaggio 2.3.1.4

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$y - 1 = 2 x - 2$

Passaggio 2.3.2

Sposta tutti i termini non contenenti $y$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 2.3.2.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = 2 x - 2 + 1$

Passaggio 2.3.2.2

Somma $- 2$ e $1$ .

$y = 2 x - 1$

Passaggio 3