Calcolo Esempi

$y = 4 x + 5 e^{x}$ , $(0, 5)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima e risolvi $x = 0$ e $y = 5$ per trovare il coefficiente angolare della linea tangente.

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Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 x + 5 e^{x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [5 e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [5 e^{x}]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Passaggio 1.2.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5 e^{x}]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5 e^{x}]$

Passaggio 1.2.3

Moltiplica $4$ per $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [5 e^{x}]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [5 e^{x}]$ .

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Passaggio 1.3.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 e^{x}$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$4 + 5 \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$4 + 5 e^{x}$

Passaggio 1.4

Riordina i termini.

$5 e^{x} + 4$

Passaggio 1.5

Calcola la derivata per $x = 0$ .

$5 e^{0} + 4$

Passaggio 1.6

Semplifica.

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Passaggio 1.6.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.6.1.1

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$5 \cdot 1 + 4$

Passaggio 1.6.1.2

Moltiplica $5$ per $1$ .

$5 + 4$

Passaggio 1.6.2

Somma $5$ e $4$ .

$9$

Passaggio 2

Inserisci i valori del coefficiente angolare e del punto nella formula di punto-pendenza e risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.1

Usa il coefficiente angolare $9$ e un punto dato $(0, 5)$ da inserire al posto di $x_{1}$ e $y_{1}$ nell'equazione della retta passante per due punti $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , che è derivata dall'equazione della pendenza $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (5) = 9 \cdot (x - (0))$

Passaggio 2.2

Semplifica l'equazione e mantienila in forma di punto-pendenza.

$y - 5 = 9 \cdot (x + 0)$

Passaggio 2.3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.3.1

Somma $x$ e $0$ .

$y - 5 = 9 x$

Passaggio 2.3.2

Somma $5$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = 9 x + 5$

Passaggio 3