Calcolo Esempi

$y = 2 x e^{x}$ , $(0, 0)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima e risolvi $x = 0$ e $y = 0$ per trovare il coefficiente angolare della linea tangente.

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Passaggio 1.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x e^{x}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x e^{x}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = e^{x}$ .

$2 (x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.3

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$2 (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.4

Differenzia usando la regola di potenza.

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Passaggio 1.4.1

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 (x e^{x} + e^{x} \cdot 1)$

Passaggio 1.4.2

Moltiplica $e^{x}$ per $1$ .

$2 (x e^{x} + e^{x})$

Passaggio 1.5

Semplifica.

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Passaggio 1.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 (x e^{x}) + 2 e^{x}$

Passaggio 1.5.2

Riordina i termini.

$2 e^{x} x + 2 e^{x}$

Passaggio 1.5.3

Riordina i fattori in $2 e^{x} x + 2 e^{x}$ .

$2 x e^{x} + 2 e^{x}$

Passaggio 1.6

Calcola la derivata per $x = 0$ .

$2 (0) \cdot e^{0} + 2 e^{0}$

Passaggio 1.7

Semplifica.

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Passaggio 1.7.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.7.1.1

Moltiplica $2$ per $0$ .

$0 \cdot e^{0} + 2 e^{0}$

Passaggio 1.7.1.2

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$0 \cdot 1 + 2 e^{0}$

Passaggio 1.7.1.3

Moltiplica $0$ per $1$ .

$0 + 2 e^{0}$

Passaggio 1.7.1.4

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$0 + 2 \cdot 1$

Passaggio 1.7.1.5

Moltiplica $2$ per $1$ .

$0 + 2$

Passaggio 1.7.2

Somma $0$ e $2$ .

$2$

Passaggio 2

Inserisci i valori del coefficiente angolare e del punto nella formula di punto-pendenza e risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.1

Usa il coefficiente angolare $2$ e un punto dato $(0, 0)$ da inserire al posto di $x_{1}$ e $y_{1}$ nell'equazione della retta passante per due punti $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , che è derivata dall'equazione della pendenza $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (0) = 2 \cdot (x - (0))$

Passaggio 2.2

Semplifica l'equazione e mantienila in forma di punto-pendenza.

$y + 0 = 2 \cdot (x + 0)$

Passaggio 2.3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.3.1

Somma $y$ e $0$ .

$y = 2 \cdot (x + 0)$

Passaggio 2.3.2

Somma $x$ e $0$ .

$y = 2 x$

Passaggio 3