Calcolo Esempi

$2 \ln (\sec (x))$

Passaggio 1

Trova gli asintoti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Per qualsiasi $y = \sec (x)$ , gli asintoti verticali si verificano con $x = \frac{π}{2} + n π$ , dove $n$ è numero intero. usa il periodo di base per $y = s e c (x)$ , $(- \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2})$ , per trovare gli asintoti verticali per $y = \ln (\sec^{2} (x))$ . Imposta l'interno della funzione secante, $b x + c$ , per $y = a \sec (b x + c) + d$ uguale a $- \frac{π}{2}$ per trovare dove gli asintoti verticali si verificano per $y = \ln (\sec^{2} (x))$ .

$\sec^{2} (x) = - \frac{π}{2}$

Passaggio 1.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$\sec (x) = \pm \sqrt{- \frac{π}{2}}$

Passaggio 1.2.2

Semplifica $\pm \sqrt{- \frac{π}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Riscrivi $- 1$ come $i^{2}$ .

$\sec (x) = \pm \sqrt{i^{2} \frac{π}{2}}$

Passaggio 1.2.2.2

Estrai i termini dal radicale.

$\sec (x) = \pm i \sqrt{\frac{π}{2}}$

Passaggio 1.2.2.3

Riscrivi $\sqrt{\frac{π}{2}}$ come $\frac{\sqrt{π}}{\sqrt{2}}$ .

$\sec (x) = \pm i \frac{\sqrt{π}}{\sqrt{2}}$

Passaggio 1.2.2.4

Moltiplica $\frac{\sqrt{π}}{\sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sec (x) = \pm i (\frac{\sqrt{π}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Passaggio 1.2.2.5

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.5.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{π}}{\sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sec (x) = \pm i \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Passaggio 1.2.2.5.2

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$\sec (x) = \pm i \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Passaggio 1.2.2.5.3

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$\sec (x) = \pm i \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Passaggio 1.2.2.5.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\sec (x) = \pm i \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Passaggio 1.2.2.5.5

Somma $1$ e $1$ .

$\sec (x) = \pm i \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Passaggio 1.2.2.5.6

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.5.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sec (x) = \pm i \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 1.2.2.5.6.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sec (x) = \pm i \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 1.2.2.5.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\sec (x) = \pm i \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 1.2.2.5.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.5.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$\sec (x) = \pm i \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 1.2.2.5.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\sec (x) = \pm i \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{2^{1}}$

Passaggio 1.2.2.5.6.5

Calcola l'esponente.

$\sec (x) = \pm i \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 1.2.2.6

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$\sec (x) = \pm i \frac{\sqrt{π \cdot 2}}{2}$

Passaggio 1.2.2.7

$i$ e $\frac{\sqrt{π \cdot 2}}{2}$ .

$\sec (x) = \pm \frac{i \sqrt{π \cdot 2}}{2}$

Passaggio 1.2.2.8

Sposta $2$ alla sinistra di $π$ .

$\sec (x) = \pm \frac{i \sqrt{2 π}}{2}$

Passaggio 1.2.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$\sec (x) = \frac{i \sqrt{2 π}}{2}$

Passaggio 1.2.3.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$\sec (x) = - \frac{i \sqrt{2 π}}{2}$

Passaggio 1.2.3.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$\sec (x) = \frac{i \sqrt{2 π}}{2}, - \frac{i \sqrt{2 π}}{2}$

Passaggio 1.2.4

Imposta ognuna delle soluzioni per risolvere per $x$ .

$\sec (x) = \frac{i \sqrt{2 π}}{2}$

$\sec (x) = - \frac{i \sqrt{2 π}}{2}$

Passaggio 1.2.5

Risolvi per $x$ in $\sec (x) = \frac{i \sqrt{2 π}}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.1

Calcola la secante inversa di entrambi i lati dell'equazione per estrarre $x$ dall'interno della secante.

$x = arcsec (\frac{i \sqrt{2 π}}{2})$

Passaggio 1.2.5.2

The inverse secant of $arcsec (\frac{i \sqrt{2 π}}{2})$ is undefined.

Indefinito

Passaggio 1.2.6

Risolvi per $x$ in $\sec (x) = - \frac{i \sqrt{2 π}}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.1

Calcola la secante inversa di entrambi i lati dell'equazione per estrarre $x$ dall'interno della secante.

$x = arcsec (- \frac{i \sqrt{2 π}}{2})$

Passaggio 1.2.6.2

The inverse secant of $arcsec (- \frac{i \sqrt{2 π}}{2})$ is undefined.

Indefinito

Passaggio 1.2.7

Elenca tutte le soluzioni.

Nessuna soluzione

Passaggio 1.3

Imposta l'interno della funzione secante $\sec^{2} (x)$ pari a $\frac{3 π}{2}$ .

$\sec^{2} (x) = \frac{3 π}{2}$

Passaggio 1.4

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$\sec (x) = \pm \sqrt{\frac{3 π}{2}}$

Passaggio 1.4.2

Semplifica $\pm \sqrt{\frac{3 π}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.1

Riscrivi $\sqrt{\frac{3 π}{2}}$ come $\frac{\sqrt{3 π}}{\sqrt{2}}$ .

$\sec (x) = \pm \frac{\sqrt{3 π}}{\sqrt{2}}$

Passaggio 1.4.2.2

Moltiplica $\frac{\sqrt{3 π}}{\sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sec (x) = \pm \frac{\sqrt{3 π}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Passaggio 1.4.2.3

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.3.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{3 π}}{\sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sec (x) = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Passaggio 1.4.2.3.2

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$\sec (x) = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Passaggio 1.4.2.3.3

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$\sec (x) = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Passaggio 1.4.2.3.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\sec (x) = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Passaggio 1.4.2.3.5

Somma $1$ e $1$ .

$\sec (x) = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Passaggio 1.4.2.3.6

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sec (x) = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 1.4.2.3.6.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sec (x) = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 1.4.2.3.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\sec (x) = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 1.4.2.3.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.3.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$\sec (x) = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 1.4.2.3.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\sec (x) = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{2^{1}}$

Passaggio 1.4.2.3.6.5

Calcola l'esponente.

$\sec (x) = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 1.4.2.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.4.1

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$\sec (x) = \pm \frac{\sqrt{3 π \cdot 2}}{2}$

Passaggio 1.4.2.4.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\sec (x) = \pm \frac{\sqrt{6 π}}{2}$

Passaggio 1.4.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.3.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$\sec (x) = \frac{\sqrt{6 π}}{2}$

Passaggio 1.4.3.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$\sec (x) = - \frac{\sqrt{6 π}}{2}$

Passaggio 1.4.3.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$\sec (x) = \frac{\sqrt{6 π}}{2}, - \frac{\sqrt{6 π}}{2}$

Passaggio 1.4.4

Imposta ognuna delle soluzioni per risolvere per $x$ .

$\sec (x) = \frac{\sqrt{6 π}}{2}$

$\sec (x) = - \frac{\sqrt{6 π}}{2}$

Passaggio 1.4.5

Risolvi per $x$ in $\sec (x) = \frac{\sqrt{6 π}}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.5.1

Calcola la secante inversa di entrambi i lati dell'equazione per estrarre $x$ dall'interno della secante.

$x = arcsec (\frac{\sqrt{6 π}}{2})$

Passaggio 1.4.5.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.5.2.1

Calcola $arcsec (\frac{\sqrt{6 π}}{2})$ .

$x = 1.09205895$

Passaggio 1.4.5.3

La funzione secante è positiva nel primo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel quarto quadrante.

$x = 2 (3.14159265) - 1.09205895$

Passaggio 1.4.5.4

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.5.4.1

Rimuovi le parentesi.

$x = 2 (3.14159265) - 1.09205895$

Passaggio 1.4.5.4.2

Semplifica $2 (3.14159265) - 1.09205895$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.5.4.2.1

Moltiplica $2$ per $3.14159265$ .

$x = 6.2831853 - 1.09205895$

Passaggio 1.4.5.4.2.2

Sottrai $1.09205895$ da $6.2831853$ .

$x = 5.19112635$

Passaggio 1.4.5.5

Trova il periodo di $\sec (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.5.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 1.4.5.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 1.4.5.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 1.4.5.5.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 1.4.5.6

Il periodo della funzione $\sec (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = 1.09205895 + 2 π n, 5.19112635 + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 1.4.6

Risolvi per $x$ in $\sec (x) = - \frac{\sqrt{6 π}}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.6.1

Calcola la secante inversa di entrambi i lati dell'equazione per estrarre $x$ dall'interno della secante.

$x = arcsec (- \frac{\sqrt{6 π}}{2})$

Passaggio 1.4.6.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.6.2.1

Calcola $arcsec (- \frac{\sqrt{6 π}}{2})$ .

$x = 2.0495337$

Passaggio 1.4.6.3

La funzione secante è negativa nel secondo e nel terzo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel terzo quadrante.

$x = 2 (3.14159265) - 2.0495337$

Passaggio 1.4.6.4

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.6.4.1

Rimuovi le parentesi.

$x = 2 (3.14159265) - 2.0495337$

Passaggio 1.4.6.4.2

Semplifica $2 (3.14159265) - 2.0495337$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.6.4.2.1

Moltiplica $2$ per $3.14159265$ .

$x = 6.2831853 - 2.0495337$

Passaggio 1.4.6.4.2.2

Sottrai $2.0495337$ da $6.2831853$ .

$x = 4.2336516$

Passaggio 1.4.6.5

Trova il periodo di $\sec (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.6.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 1.4.6.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 1.4.6.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 1.4.6.5.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 1.4.6.6

Il periodo della funzione $\sec (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = 2.0495337 + 2 π n, 4.2336516 + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 1.4.7

Elenca tutte le soluzioni.

$x = 1.09205895 + 2 π n, 5.19112635 + 2 π n, 2.0495337 + 2 π n, 4.2336516 + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 1.4.8

Consolida le soluzioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.8.1

Combina $1.09205895 + 2 π n$ e $4.2336516 + 2 π n$ in $1.09205895 + π n$ .

$x = 1.09205895 + π n, 5.19112635 + 2 π n, 2.0495337 + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 1.4.8.2

Combina $5.19112635 + 2 π n$ e $2.0495337 + 2 π n$ in $2.0495337 + π n$ .

$x = 1.09205895 + π n, 2.0495337 + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 1.5

Il periodo di base per $y = \ln (\sec^{2} (x))$ si verificherà a $(, 1.09205895 + π n, 2.0495337 + π n)$ , dove e $1.09205895 + π n, 2.0495337 + π n$ sono asintoti verticali.

$(, 1.09205895 + π n, 2.0495337 + π n)$

Passaggio 1.6

Trova il periodo $\frac{2 π}{| b |}$ per determinare dove sono presenti asintoti verticali. Si hanno asintoti verticali ogni mezzo periodo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.1

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 1.6.2

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 1.7

Si hanno asintoti verticali di $y = \ln (\sec^{2} (x))$ con , $1.09205895 + π n, 2.0495337 + π n$ e con ogni $π n$ , dove $n$ è un intero. Questo è mezzo periodo.

$π n$

Passaggio 1.8

Le funzioni secante e cosecante hanno solo asintoti verticali.

Asintoti verticali: $x = π n$ per qualsiasi intero $n$

Nessun asintoto orizzontale

Nessun asintoto obliquo

Asintoti verticali: $x = π n$ per qualsiasi intero $n$

Nessun asintoto orizzontale

Nessun asintoto obliquo

Passaggio 2

Trova il punto in corrispondenza di $x = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f (1) = 2 \ln (\sec (1))$

Passaggio 2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Calcola $\sec (1)$ .

$f (1) = 2 \ln (1.85081571)$

Passaggio 2.2.2

Semplifica $2 \ln (1.85081571)$ spostando $2$ all'interno del logaritmo.

$f (1) = \ln ({1.85081571}^{2})$

Passaggio 2.2.3

Eleva $1.85081571$ alla potenza di $2$ .

$f (1) = \ln (3.42551882)$

Passaggio 2.2.4

La risposta finale è $\ln (3.42551882)$ .

$\ln (3.42551882)$

Passaggio 3

Trova il punto in corrispondenza di $x = 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $5$ nell'espressione.

$f (5) = 2 \ln (\sec (5))$

Passaggio 3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Calcola $\sec (5)$ .

$f (5) = 2 \ln (3.52532008)$

Passaggio 3.2.2

Semplifica $2 \ln (3.52532008)$ spostando $2$ all'interno del logaritmo.

$f (5) = \ln ({3.52532008}^{2})$

Passaggio 3.2.3

Eleva $3.52532008$ alla potenza di $2$ .

$f (5) = \ln (12.4278817)$

Passaggio 3.2.4

La risposta finale è $\ln (12.4278817)$ .

$\ln (12.4278817)$

Passaggio 4

Trova il punto in corrispondenza di $x = 6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $6$ nell'espressione.

$f (6) = 2 \ln (\sec (6))$

Passaggio 4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Calcola $\sec (6)$ .

$f (6) = 2 \ln (1.04148192)$

Passaggio 4.2.2

Semplifica $2 \ln (1.04148192)$ spostando $2$ all'interno del logaritmo.

$f (6) = \ln ({1.04148192}^{2})$

Passaggio 4.2.3

Eleva $1.04148192$ alla potenza di $2$ .

$f (6) = \ln (1.0846846)$

Passaggio 4.2.4

La risposta finale è $\ln (1.0846846)$ .

$\ln (1.0846846)$

Passaggio 5

La funzione logaritmo può essere rappresentata graficamente usando l'asintoto verticale in $x = π n (f o r) (a n y) (i n t e g e r) n$ e i punti $(1, 1.23125294), (5, 2.51994247), (6, 0.08128925)$ .

Asintoto verticale: $x = π n (f o r) (a n y) (i n t e g e r) n$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 1.231 \\ 5 & 2.52 \\ 6 & 0.081 \end{array}$

Passaggio 6