Calcolo Esempi

$k \sqrt{x} - \ln (x)$

Passaggio 1

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 1.1

Somma $\ln (x)$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y \sqrt{x} = \ln (x)$

Passaggio 1.2

Dividi per $\sqrt{x}$ ciascun termine in $y \sqrt{x} = \ln (x)$ e semplifica.

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Passaggio 1.2.1

Dividi per $\sqrt{x}$ ciascun termine in $y \sqrt{x} = \ln (x)$ .

$\frac{y \sqrt{x}}{\sqrt{x}} = \frac{\ln (x)}{\sqrt{x}}$

Passaggio 1.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 1.2.2.1

Elimina il fattore comune di $\sqrt{x}$ .

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Passaggio 1.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y \sqrt{x}}{\sqrt{x}} = \frac{\ln (x)}{\sqrt{x}}$

Passaggio 1.2.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{\ln (x)}{\sqrt{x}}$

Passaggio 1.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 1.2.3.1

Moltiplica $\frac{\ln (x)}{\sqrt{x}}$ per $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$y = \frac{\ln (x)}{\sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$

Passaggio 1.2.3.2

Combina e semplifica il denominatore.

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Passaggio 1.2.3.2.1

Moltiplica $\frac{\ln (x)}{\sqrt{x}}$ per $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$y = \frac{\ln (x) \sqrt{x}}{\sqrt{x} \sqrt{x}}$

Passaggio 1.2.3.2.2

Eleva $\sqrt{x}$ alla potenza di $1$ .

$y = \frac{\ln (x) \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x}}$

Passaggio 1.2.3.2.3

Eleva $\sqrt{x}$ alla potenza di $1$ .

$y = \frac{\ln (x) \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1}}$

Passaggio 1.2.3.2.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y = \frac{\ln (x) \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1 + 1}}$

Passaggio 1.2.3.2.5

Somma $1$ e $1$ .

$y = \frac{\ln (x) \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

Passaggio 1.2.3.2.6

Riscrivi ${\sqrt{x}}^{2}$ come $x$ .

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Passaggio 1.2.3.2.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \frac{\ln (x) \sqrt{x}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 1.2.3.2.6.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\ln (x) \sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 1.2.3.2.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$y = \frac{\ln (x) \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 1.2.3.2.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 1.2.3.2.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{\ln (x) \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 1.2.3.2.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$y = \frac{\ln (x) \sqrt{x}}{x^{1}}$

Passaggio 1.2.3.2.6.5

Semplifica.

$y = \frac{\ln (x) \sqrt{x}}{x}$

Passaggio 2

Trova il dominio per $k \sqrt{x} - \ln (x) = 0$ in modo da poter scegliere una lista di valori $x$ per trovare una lista di punti che semplificherà la rappresentazione grafica del radicale.

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Passaggio 2.1

Imposta l'argomento in $\ln (x)$ in modo che sia maggiore di $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$x > 0$

Passaggio 2.2

Imposta il radicando in $\sqrt{x}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$x \geq 0$

Passaggio 2.3

Imposta il denominatore in $\frac{\ln (x) \sqrt{x}}{x}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x = 0$

Passaggio 2.4

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

Notazione degli intervalli:

$(0, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x > 0}$

Notazione degli intervalli:

$(0, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x > 0}$

Passaggio 3

Per trovare il punto finale dell'espressione radicale, sostituisci il valore $x$ $0$ , che è il valore minimo nel dominio, in $f (x) = \frac{\ln (x) \sqrt{x}}{x}$ .

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Passaggio 3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = \frac{\ln (0) \sqrt{0}}{0}$

Passaggio 3.2

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

$f (0) = Undefined$

Indefinito

Passaggio 4

Il punto finale dell'espressione radicale è $(0, Undefined)$ .

$(0, Undefined)$

Passaggio 5

Seleziona alcuni valori $x$ dal dominio. Sarebbe più utile selezionare i valori in modo che si trovino vicino al valore $x$ del punto finale dell'espressione radicale.

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Passaggio 5.1

Sostituisci il valore $1$ di $x$ in $f (x) = \frac{\ln (x) \sqrt{x}}{x}$ . In questo caso, il punto è $(1, 0)$ .

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Passaggio 5.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f (1) = \frac{\ln (1) \sqrt{1}}{1}$

Passaggio 5.1.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 5.1.2.1

Dividi $\ln (1) \sqrt{1}$ per $1$ .

$f (1) = \ln (1) \sqrt{1}$

Passaggio 5.1.2.2

Il logaritmo naturale di $1$ è $0$ .

$f (1) = 0 \sqrt{1}$

Passaggio 5.1.2.3

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$f (1) = 0 \cdot 1$

Passaggio 5.1.2.4

Moltiplica $0$ per $1$ .

$f (1) = 0$

Passaggio 5.1.2.5

La risposta finale è $0$ .

$y = 0$

Passaggio 5.2

Sostituisci il valore $2$ di $x$ in $f (x) = \frac{\ln (x) \sqrt{x}}{x}$ . In questo caso, il punto è $(2, \frac{\ln (2) \sqrt{2}}{2})$ .

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Passaggio 5.2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$f (2) = \frac{\ln (2) \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 5.2.2

La risposta finale è $\frac{\ln (2) \sqrt{2}}{2}$ .

$y = \frac{\ln (2) \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 5.3

La radice quadrata può essere rappresentata graficamente usando i punti attorno al vertice $(0, Undefined), (1, 0), (2, 0.49)$

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & Undefined \\ 1 & 0 \\ 2 & 0.49 \end{array}$

Passaggio 6