Calcolo Esempi

ln (x^{2} + 3 x + 7)

$\ln (x^{2} + 3 x + 7)$

Passaggio 1

Trova gli asintoti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Imposta l'argomento del logaritmo in modo che risulti uguale a zero.

x^{2} + 3 x + 7 = 0

$x^{2} + 3 x + 7 = 0$

Passaggio 1.2

Risolvi per

x

$x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Usa la formula quadratica per trovare le soluzioni.

\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 1.2.2

Sostituisci i valori

a = 1

$a = 1$ ,

b = 3

$b = 3$ e

c = 7

$c = 7$ nella formula quadratica e risolvi per

x

$x$ .

\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 7)}}{2 \cdot 1}

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 7)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1.1

Eleva

3

$3$ alla potenza di

2

$2$ .

x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.3.1.2

Moltiplica

- 4 \cdot 1 \cdot 7

$- 4 \cdot 1 \cdot 7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1.2.1

Moltiplica

- 4

$- 4$ per

1

$1$ .

x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 7}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.3.1.2.2

Moltiplica

- 4

$- 4$ per

7

$7$ .

x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 28}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 28}}{2 \cdot 1}$

x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 28}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 28}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.3.1.3

Sottrai

28

$28$ da

9

$9$ .

x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 19}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 19}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.3.1.4

Riscrivi

- 19

$- 19$ come

- 1 (19)

$- 1 (19)$ .

x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 19}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 19}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.3.1.5

Riscrivi

\sqrt{- 1 (19)}

$\sqrt{- 1 (19)}$ come

\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{19}

$\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{19}$ .

x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{19}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{19}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.3.1.6

Riscrivi

\sqrt{- 1}

$\sqrt{- 1}$ come

i

$i$ .

x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{19}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{19}}{2 \cdot 1}$

x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{19}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{19}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.3.2

Moltiplica

2

$2$ per

1

$1$ .

x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{19}}{2}

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{19}}{2}$

x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{19}}{2}

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{19}}{2}$

Passaggio 1.2.4

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione

+

$+$ di

\pm

$\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1.1

Eleva

3

$3$ alla potenza di

2

$2$ .

x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.4.1.2

Moltiplica

- 4 \cdot 1 \cdot 7

$- 4 \cdot 1 \cdot 7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1.2.1

Moltiplica

- 4

$- 4$ per

1

$1$ .

x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 7}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.4.1.2.2

Moltiplica

- 4

$- 4$ per

7

$7$ .

x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 28}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 28}}{2 \cdot 1}$

x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 28}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 28}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.4.1.3

Sottrai

28

$28$ da

9

$9$ .

x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 19}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 19}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.4.1.4

Riscrivi

- 19

$- 19$ come

- 1 (19)

$- 1 (19)$ .

x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 19}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 19}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.4.1.5

Riscrivi

\sqrt{- 1 (19)}

$\sqrt{- 1 (19)}$ come

\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{19}

$\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{19}$ .

x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{19}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{19}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.4.1.6

Riscrivi

\sqrt{- 1}

$\sqrt{- 1}$ come

i

$i$ .

x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{19}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{19}}{2 \cdot 1}$

x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{19}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{19}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.4.2

Moltiplica

2

$2$ per

1

$1$ .

x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{19}}{2}

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{19}}{2}$

Passaggio 1.2.4.3

Cambia da

\pm

$\pm$ a

+

$+$ .

x = \frac{- 3 + i \sqrt{19}}{2}

$x = \frac{- 3 + i \sqrt{19}}{2}$

Passaggio 1.2.4.4

Riscrivi

- 3

$- 3$ come

- 1 (3)

$- 1 (3)$ .

x = \frac{- 1 \cdot 3 + i \sqrt{19}}{2}

$x = \frac{- 1 \cdot 3 + i \sqrt{19}}{2}$

Passaggio 1.2.4.5

Scomponi

- 1

$- 1$ da

i \sqrt{19}

$i \sqrt{19}$ .

x = \frac{- 1 \cdot 3 - (- i \sqrt{19})}{2}

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - (- i \sqrt{19})}{2}$

Passaggio 1.2.4.6

Scomponi

- 1

$- 1$ da

- 1 (3) - (- i \sqrt{19})

$- 1 (3) - (- i \sqrt{19})$ .

x = \frac{- 1 (3 - i \sqrt{19})}{2}

$x = \frac{- 1 (3 - i \sqrt{19})}{2}$

Passaggio 1.2.4.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

x = - \frac{3 - i \sqrt{19}}{2}

$x = - \frac{3 - i \sqrt{19}}{2}$

x = - \frac{3 - i \sqrt{19}}{2}

$x = - \frac{3 - i \sqrt{19}}{2}$

Passaggio 1.2.5

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione

-

$-$ di

\pm

$\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.1.1

Eleva

3

$3$ alla potenza di

2

$2$ .

x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.5.1.2

Moltiplica

- 4 \cdot 1 \cdot 7

$- 4 \cdot 1 \cdot 7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.1.2.1

Moltiplica

- 4

$- 4$ per

1

$1$ .

x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 7}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.5.1.2.2

Moltiplica

- 4

$- 4$ per

7

$7$ .

x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 28}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 28}}{2 \cdot 1}$

x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 28}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 28}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.5.1.3

Sottrai

28

$28$ da

9

$9$ .

x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 19}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 19}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.5.1.4

Riscrivi

- 19

$- 19$ come

- 1 (19)

$- 1 (19)$ .

x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 19}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 19}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.5.1.5

Riscrivi

\sqrt{- 1 (19)}

$\sqrt{- 1 (19)}$ come

\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{19}

$\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{19}$ .

x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{19}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{19}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.5.1.6

Riscrivi

\sqrt{- 1}

$\sqrt{- 1}$ come

i

$i$ .

x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{19}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{19}}{2 \cdot 1}$

x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{19}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{19}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.5.2

Moltiplica

2

$2$ per

1

$1$ .

x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{19}}{2}

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{19}}{2}$

Passaggio 1.2.5.3

Cambia da

\pm

$\pm$ a

-

$-$ .

x = \frac{- 3 - i \sqrt{19}}{2}

$x = \frac{- 3 - i \sqrt{19}}{2}$

Passaggio 1.2.5.4

Riscrivi

- 3

$- 3$ come

- 1 (3)

$- 1 (3)$ .

x = \frac{- 1 \cdot 3 - i \sqrt{19}}{2}

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - i \sqrt{19}}{2}$

Passaggio 1.2.5.5

Scomponi

- 1

$- 1$ da

- i \sqrt{19}

$- i \sqrt{19}$ .

x = \frac{- 1 \cdot 3 - (i \sqrt{19})}{2}

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - (i \sqrt{19})}{2}$

Passaggio 1.2.5.6

Scomponi

- 1

$- 1$ da

- 1 (3) - (i \sqrt{19})

$- 1 (3) - (i \sqrt{19})$ .

x = \frac{- 1 (3 + i \sqrt{19})}{2}

$x = \frac{- 1 (3 + i \sqrt{19})}{2}$

Passaggio 1.2.5.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

x = - \frac{3 + i \sqrt{19}}{2}

$x = - \frac{3 + i \sqrt{19}}{2}$

x = - \frac{3 + i \sqrt{19}}{2}

$x = - \frac{3 + i \sqrt{19}}{2}$

Passaggio 1.2.6

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

x = - \frac{3 - i \sqrt{19}}{2}, - \frac{3 + i \sqrt{19}}{2}

$x = - \frac{3 - i \sqrt{19}}{2}, - \frac{3 + i \sqrt{19}}{2}$

x = - \frac{3 - i \sqrt{19}}{2}, - \frac{3 + i \sqrt{19}}{2}

$x = - \frac{3 - i \sqrt{19}}{2}, - \frac{3 + i \sqrt{19}}{2}$

Passaggio 1.3

L'asintoto verticale avviene a

x = - \frac{3 - i \sqrt{19}}{2}, x = - \frac{3 + i \sqrt{19}}{2}

$x = - \frac{3 - i \sqrt{19}}{2}, x = - \frac{3 + i \sqrt{19}}{2}$ .

Asintoto verticale:

x = - \frac{3 - i \sqrt{19}}{2}, x = - \frac{3 + i \sqrt{19}}{2}

$x = - \frac{3 - i \sqrt{19}}{2}, x = - \frac{3 + i \sqrt{19}}{2}$

Asintoto verticale:

$x = - \frac{3 - i \sqrt{19}}{2}, x = - \frac{3 + i \sqrt{19}}{2}$

Passaggio 2

Trova il punto in corrispondenza di

$x = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sostituisci la variabile

$x$ con

$1$ nell'espressione.

$f (1) = \ln ({(1)}^{2} + 3 (1) + 7)$

Passaggio 2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (1) = \ln (1 + 3 (1) + 7)$

Passaggio 2.2.1.2

Moltiplica

$3$ per

$1$ .

$f (1) = \ln (1 + 3 + 7)$

Passaggio 2.2.2

Semplifica aggiungendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Somma

$1$ e

$3$ .

$f (1) = \ln (4 + 7)$

Passaggio 2.2.2.2

Somma

$4$ e

$7$ .

$f (1) = \ln (11)$

Passaggio 2.2.3

La risposta finale è

$\ln (11)$ .

$\ln (11)$

Passaggio 2.3

Converti

$\ln (11)$ in decimale.

$y = 2.39789527$

Passaggio 3

Trova il punto in corrispondenza di

$x = 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci la variabile

$x$ con

$2$ nell'espressione.

$f (2) = \ln ({(2)}^{2} + 3 (2) + 7)$

Passaggio 3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Eleva

$2$ alla potenza di

$2$ .

$f (2) = \ln (4 + 3 (2) + 7)$

Passaggio 3.2.1.2

Moltiplica

$3$ per

$2$ .

$f (2) = \ln (4 + 6 + 7)$

Passaggio 3.2.2

Semplifica aggiungendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Somma

$4$ e

$6$ .

$f (2) = \ln (10 + 7)$

Passaggio 3.2.2.2

Somma

$10$ e

$7$ .

$f (2) = \ln (17)$

Passaggio 3.2.3

La risposta finale è

$\ln (17)$ .

$\ln (17)$

Passaggio 3.3

Converti

$\ln (17)$ in decimale.

$y = 2.83321334$

Passaggio 4

Trova il punto in corrispondenza di

$x = 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci la variabile

$x$ con

$3$ nell'espressione.

$f (3) = \ln ({(3)}^{2} + 3 (3) + 7)$

Passaggio 4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Eleva

$3$ alla potenza di

$2$ .

$f (3) = \ln (9 + 3 (3) + 7)$

Passaggio 4.2.1.2

Moltiplica

$3$ per

$3$ .

$f (3) = \ln (9 + 9 + 7)$

Passaggio 4.2.2

Semplifica aggiungendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Somma

$9$ e

$9$ .

$f (3) = \ln (18 + 7)$

Passaggio 4.2.2.2

Somma

$18$ e

$7$ .

$f (3) = \ln (25)$

Passaggio 4.2.3

La risposta finale è

$\ln (25)$ .

$\ln (25)$

Passaggio 4.3

Converti

$\ln (25)$ in decimale.

$y = 3.21887582$

Passaggio 5

La funzione logaritmo può essere rappresentata graficamente usando l'asintoto verticale in

$x = - \frac{3 - i \sqrt{19}}{2}, x = - \frac{3 + i \sqrt{19}}{2}$ e i punti

$(1, 2.39789527), (2, 2.83321334), (3, 3.21887582)$ .

Asintoto verticale:

$x = - \frac{3 - i \sqrt{19}}{2}, x = - \frac{3 + i \sqrt{19}}{2}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 2.398 \\ 2 & 2.833 \\ 3 & 3.219 \end{array}$

Passaggio 6