Calcolo Esempi

$\ln (x^{2} + 3 x + 7)$

Passaggio 1

Trova gli asintoti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Imposta l'argomento del logaritmo in modo che risulti uguale a zero.

$x^{2} + 3 x + 7 = 0$

Passaggio 1.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Usa la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 1.2.2

Sostituisci i valori $a = 1$ , $b = 3$ e $c = 7$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 7)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1.1

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.3.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.3.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $7$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 28}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.3.1.3

Sottrai $28$ da $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 19}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.3.1.4

Riscrivi $- 19$ come $- 1 (19)$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 19}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.3.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (19)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{19}$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{19}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.3.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{19}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.3.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{19}}{2}$

Passaggio 1.2.4

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $+$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1.1

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.4.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.4.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $7$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 28}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.4.1.3

Sottrai $28$ da $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 19}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.4.1.4

Riscrivi $- 19$ come $- 1 (19)$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 19}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.4.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (19)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{19}$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{19}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.4.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{19}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.4.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{19}}{2}$

Passaggio 1.2.4.3

Cambia da $\pm$ a $+$ .

$x = \frac{- 3 + i \sqrt{19}}{2}$

Passaggio 1.2.4.4

Riscrivi $- 3$ come $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 + i \sqrt{19}}{2}$

Passaggio 1.2.4.5

Scomponi $- 1$ da $i \sqrt{19}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - (- i \sqrt{19})}{2}$

Passaggio 1.2.4.6

Scomponi $- 1$ da $- 1 (3) - (- i \sqrt{19})$ .

$x = \frac{- 1 (3 - i \sqrt{19})}{2}$

Passaggio 1.2.4.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{3 - i \sqrt{19}}{2}$

Passaggio 1.2.5

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $-$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.1.1

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.5.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.5.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $7$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 28}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.5.1.3

Sottrai $28$ da $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 19}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.5.1.4

Riscrivi $- 19$ come $- 1 (19)$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 19}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.5.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (19)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{19}$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{19}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.5.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{19}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.5.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{19}}{2}$

Passaggio 1.2.5.3

Cambia da $\pm$ a $-$ .

$x = \frac{- 3 - i \sqrt{19}}{2}$

Passaggio 1.2.5.4

Riscrivi $- 3$ come $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - i \sqrt{19}}{2}$

Passaggio 1.2.5.5

Scomponi $- 1$ da $- i \sqrt{19}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - (i \sqrt{19})}{2}$

Passaggio 1.2.5.6

Scomponi $- 1$ da $- 1 (3) - (i \sqrt{19})$ .

$x = \frac{- 1 (3 + i \sqrt{19})}{2}$

Passaggio 1.2.5.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{3 + i \sqrt{19}}{2}$

Passaggio 1.2.6

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$x = - \frac{3 - i \sqrt{19}}{2}, - \frac{3 + i \sqrt{19}}{2}$

Passaggio 1.3

L'asintoto verticale avviene a $x = - \frac{3 - i \sqrt{19}}{2}, x = - \frac{3 + i \sqrt{19}}{2}$ .

Asintoto verticale: $x = - \frac{3 - i \sqrt{19}}{2}, x = - \frac{3 + i \sqrt{19}}{2}$

Passaggio 2

Trova il punto in corrispondenza di $x = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f (1) = \ln ({(1)}^{2} + 3 (1) + 7)$

Passaggio 2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (1) = \ln (1 + 3 (1) + 7)$

Passaggio 2.2.1.2

Moltiplica $3$ per $1$ .

$f (1) = \ln (1 + 3 + 7)$

Passaggio 2.2.2

Semplifica aggiungendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Somma $1$ e $3$ .

$f (1) = \ln (4 + 7)$

Passaggio 2.2.2.2

Somma $4$ e $7$ .

$f (1) = \ln (11)$

Passaggio 2.2.3

La risposta finale è $\ln (11)$ .

$\ln (11)$

Passaggio 2.3

Converti $\ln (11)$ in decimale.

$y = 2.39789527$

Passaggio 3

Trova il punto in corrispondenza di $x = 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$f (2) = \ln ({(2)}^{2} + 3 (2) + 7)$

Passaggio 3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f (2) = \ln (4 + 3 (2) + 7)$

Passaggio 3.2.1.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$f (2) = \ln (4 + 6 + 7)$

Passaggio 3.2.2

Semplifica aggiungendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Somma $4$ e $6$ .

$f (2) = \ln (10 + 7)$

Passaggio 3.2.2.2

Somma $10$ e $7$ .

$f (2) = \ln (17)$

Passaggio 3.2.3

La risposta finale è $\ln (17)$ .

$\ln (17)$

Passaggio 3.3

Converti $\ln (17)$ in decimale.

$y = 2.83321334$

Passaggio 4

Trova il punto in corrispondenza di $x = 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $3$ nell'espressione.

$f (3) = \ln ({(3)}^{2} + 3 (3) + 7)$

Passaggio 4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$f (3) = \ln (9 + 3 (3) + 7)$

Passaggio 4.2.1.2

Moltiplica $3$ per $3$ .

$f (3) = \ln (9 + 9 + 7)$

Passaggio 4.2.2

Semplifica aggiungendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Somma $9$ e $9$ .

$f (3) = \ln (18 + 7)$

Passaggio 4.2.2.2

Somma $18$ e $7$ .

$f (3) = \ln (25)$

Passaggio 4.2.3

La risposta finale è $\ln (25)$ .

$\ln (25)$

Passaggio 4.3

Converti $\ln (25)$ in decimale.

$y = 3.21887582$

Passaggio 5

La funzione logaritmo può essere rappresentata graficamente usando l'asintoto verticale in $x = - \frac{3 - i \sqrt{19}}{2}, x = - \frac{3 + i \sqrt{19}}{2}$ e i punti $(1, 2.39789527), (2, 2.83321334), (3, 3.21887582)$ .

Asintoto verticale: $x = - \frac{3 - i \sqrt{19}}{2}, x = - \frac{3 + i \sqrt{19}}{2}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 2.398 \\ 2 & 2.833 \\ 3 & 3.219 \end{array}$

Passaggio 6