Calcolo Esempi

$\ln (x e^{x})$

Passaggio 1

Trova gli asintoti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova dove l'espressione

$\ln (x) + x$ è indefinita.

$x \leq 0$

Passaggio 1.2

Poiché

$\ln (x) + x$

$\to$

$\infty$ con

$x$

$\to$

$0$ da sinistra e

$\ln (x) + x$

$\to$

$- \infty$ con

$x$

$\to$

$0$ da destra, allora

$x = 0$ è un asintoto verticale.

$x = 0$

Passaggio 1.3

Ignorando il logaritmo, considera la funzione razionale

$R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ dove

$n$ è il grado del numeratore e

$m$ è il grado del denominatore.

1. Se

$n < m$ , l'asse x,

$y = 0$ , è l'asintoto orizzontale.

2. Se

$n = m$ , l'asintoto orizzontale è la retta

$y = \frac{a}{b}$ .

3. Se

$n > m$ , non esiste alcun asintoto orizzontale (è presente un asintoto obliquo).

Passaggio 1.4

Non ci sono asintoti orizzontali perché

$Q (x)$ è

$1$ .

Nessun asintoto orizzontale

Passaggio 1.5

Non sono presenti asintoti obliqui per le funzioni logaritmiche e trigonometriche.

Nessun asintoto obliquo

Passaggio 1.6

Questo è l'insieme di tutti gli asintoti.

Asintoti verticali:

$x = 0$

Nessun asintoto orizzontale

Asintoti verticali:

$x = 0$

Nessun asintoto orizzontale

Passaggio 2

Trova il punto in corrispondenza di

$x = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sostituisci la variabile

$x$ con

$1$ nell'espressione.

$f (1) = \ln ((1) \cdot e^{1})$

Passaggio 2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Moltiplica

$e^{1}$ per

$1$ .

$f (1) = \ln (e)$

Passaggio 2.2.2

Usa le regole del logaritmo per togliere

$1$ dall'esponente.

$f (1) = 1 \ln (e)$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica

$\ln (e)$ per

$1$ .

$f (1) = \ln (e)$

Passaggio 2.2.4

Il logaritmo naturale di

$e$ è

$1$ .

$f (1) = 1$

Passaggio 2.2.5

La risposta finale è

$1$ .

$1$

Passaggio 2.3

Converti

$1$ in decimale.

$y = 1$

Passaggio 3

Trova il punto in corrispondenza di

$x = 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci la variabile

$x$ con

$2$ nell'espressione.

$f (2) = \ln ((2) \cdot e^{2})$

Passaggio 3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Moltiplica

$2$ per

$e^{2}$ .

$f (2) = \ln (2 e^{2})$

Passaggio 3.2.2

La risposta finale è

$\ln (2 e^{2})$ .

$\ln (2 e^{2})$

Passaggio 3.3

Converti

$\ln (2 e^{2})$ in decimale.

$y = 2.69314718$

Passaggio 4

Trova il punto in corrispondenza di

$x = 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci la variabile

$x$ con

$3$ nell'espressione.

$f (3) = \ln ((3) \cdot e^{3})$

Passaggio 4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Moltiplica

$3$ per

$e^{3}$ .

$f (3) = \ln (3 e^{3})$

Passaggio 4.2.2

La risposta finale è

$\ln (3 e^{3})$ .

$\ln (3 e^{3})$

Passaggio 4.3

Converti

$\ln (3 e^{3})$ in decimale.

$y = 4.09861228$

Passaggio 5

La funzione logaritmo può essere rappresentata graficamente usando l'asintoto verticale in

$x = 0$ e i punti

$(1, 1), (2, 2.69314718), (3, 4.09861228)$ .

Asintoto verticale:

$x = 0$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 1 \\ 2 & 2.693 \\ 3 & 4.099 \end{array}$

Passaggio 6