Calcolo Esempi

$\ln (\sqrt{x + 1})$

Passaggio 1

Trova il dominio per $y = \ln (\sqrt{x + 1})$ in modo da poter scegliere una lista di valori $x$ per trovare una lista di punti che semplificherà la rappresentazione grafica del radicale.

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Passaggio 1.1

Imposta l'argomento in $\ln (\sqrt{x + 1})$ in modo che sia maggiore di $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$\sqrt{x + 1} > 0$

Passaggio 1.2

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 1.2.1

Per rimuovere il radicale del lato sinistro della diseguaglianza, eleva al quadrato entrambi i lati della diseguaglianza.

${\sqrt{x + 1}}^{2} > 0^{2}$

Passaggio 1.2.2

Semplifica ogni lato della diseguaglianza.

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Passaggio 1.2.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x + 1}$ come ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} > 0^{2}$

Passaggio 1.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 1.2.2.2.1

Semplifica ${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Passaggio 1.2.2.2.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Passaggio 1.2.2.2.1.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} > 0^{2}$

Passaggio 1.2.2.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 1.2.2.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

${(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} > 0^{2}$

Passaggio 1.2.2.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

${(x + 1)}^{1} > 0^{2}$

Passaggio 1.2.2.2.1.2

Semplifica.

$x + 1 > 0^{2}$

Passaggio 1.2.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 1.2.2.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$x + 1 > 0$

Passaggio 1.2.3

Sottrai $1$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$x > - 1$

Passaggio 1.2.4

Trova il dominio di $\sqrt{x + 1}$ .

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Passaggio 1.2.4.1

Imposta il radicando in $\sqrt{x + 1}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$x + 1 \geq 0$

Passaggio 1.2.4.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$x \geq - 1$

Passaggio 1.2.4.3

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

$[- 1, \infty)$

Passaggio 1.2.5

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$x > - 1$

Passaggio 1.3

Imposta il radicando in $\sqrt{x + 1}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$x + 1 \geq 0$

Passaggio 1.4

Sottrai $1$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$x \geq - 1$

Passaggio 1.5

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

Notazione degli intervalli:

$(- 1, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x > - 1}$

Notazione degli intervalli:

$(- 1, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x > - 1}$

Passaggio 2

Per trovare il punto finale dell'espressione radicale, sostituisci il valore $x$ $- 1$ , che è il valore minimo nel dominio, in $f (x) = \ln (\sqrt{x + 1})$ .

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Passaggio 2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1$ nell'espressione.

$f (- 1) = \ln (\sqrt{(- 1) + 1})$

Passaggio 2.2

Somma $- 1$ e $1$ .

$f (- 1) = \ln (\sqrt{0})$

Passaggio 2.3

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$f (- 1) = \ln (\sqrt{0^{2}})$

Passaggio 2.4

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$f (- 1) = \ln (0)$

Passaggio 2.5

Il logaritmo naturale di zero è indefinito.

$f (- 1) = Undefined$

Indefinito

Passaggio 3

Il punto finale dell'espressione radicale è $(- 1, Undefined)$ .

$(- 1, Undefined)$

Passaggio 4

Seleziona alcuni valori $x$ dal dominio. Sarebbe più utile selezionare i valori in modo che si trovino vicino al valore $x$ del punto finale dell'espressione radicale.

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Passaggio 4.1

Sostituisci il valore $0$ di $x$ in $f (x) = \ln (\sqrt{x + 1})$ . In questo caso, il punto è $(0, 0)$ .

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Passaggio 4.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = \ln (\sqrt{(0) + 1})$

Passaggio 4.1.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 4.1.2.1

Somma $0$ e $1$ .

$f (0) = \ln (\sqrt{1})$

Passaggio 4.1.2.2

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$f (0) = \ln (1)$

Passaggio 4.1.2.3

Il logaritmo naturale di $1$ è $0$ .

$f (0) = 0$

Passaggio 4.1.2.4

La risposta finale è $0$ .

$y = 0$

Passaggio 4.2

Sostituisci il valore $1$ di $x$ in $f (x) = \ln (\sqrt{x + 1})$ . In questo caso, il punto è $(1, \ln (\sqrt{2}))$ .

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Passaggio 4.2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f (1) = \ln (\sqrt{(1) + 1})$

Passaggio 4.2.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 4.2.2.1

Somma $1$ e $1$ .

$f (1) = \ln (\sqrt{2})$

Passaggio 4.2.2.2

La risposta finale è $\ln (\sqrt{2})$ .

$y = \ln (\sqrt{2})$

Passaggio 4.3

La radice quadrata può essere rappresentata graficamente usando i punti attorno al vertice $(- 1, Undefined), (0, 0), (1, 0.35)$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & Undefined \\ 0 & 0 \\ 1 & 0.35 \end{array}$

Passaggio 5