Calcolo Esempi

$\frac{\ln (7 x + 5)}{e^{7 x + 5}}$

Passaggio 1

Trova gli asintoti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova dove l'espressione $\frac{\ln (7 x + 5)}{e^{7 x + 5}}$ è indefinita.

$x \leq - \frac{5}{7}$

Passaggio 1.2

Poiché $\frac{\ln (7 x + 5)}{e^{7 x + 5}}$ $\to$ $\infty$ con $x$ $\to$ $- \frac{5}{7}$ da sinistra e $\frac{\ln (7 x + 5)}{e^{7 x + 5}}$ $\to$ $- \infty$ con $x$ $\to$ $- \frac{5}{7}$ da destra, allora $x = - \frac{5}{7}$ è un asintoto verticale.

$x = - \frac{5}{7}$

Passaggio 1.3

Calcola $lim_{x \to \infty} \frac{\ln (7 x + 5)}{e^{7 x + 5}}$ per trovare l'asintoto orizzontale.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Applica la regola di de l'Hôpital

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to \infty} \ln (7 x + 5)}{lim_{x \to \infty} e^{7 x + 5}}$

Passaggio 1.3.1.1.2

Con un logaritmo che tende a infinito, il valore diventa $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{7 x + 5}}$

Passaggio 1.3.1.1.3

Poiché l'esponente $7 x + 5$ tende a $\infty$ , la quantità $e^{7 x + 5}$ tende a $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty}$

Passaggio 1.3.1.1.4

Infinito diviso per infinito è indefinito.

Indefinito

$\frac{\infty}{\infty}$

Passaggio 1.3.1.2

Poiché $\frac{\infty}{\infty}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (7 x + 5)}{e^{7 x + 5}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (7 x + 5)]}{\frac{d}{d x} [e^{7 x + 5}]}$

Passaggio 1.3.1.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (7 x + 5)]}{\frac{d}{d x} [e^{7 x + 5}]}$

Passaggio 1.3.1.3.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 7 x + 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $7 x + 5$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [7 x + 5]}{\frac{d}{d x} [e^{7 x + 5}]}$

Passaggio 1.3.1.3.2.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [7 x + 5]}{\frac{d}{d x} [e^{7 x + 5}]}$

Passaggio 1.3.1.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $7 x + 5$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{7 x + 5} \frac{d}{d x} [7 x + 5]}{\frac{d}{d x} [e^{7 x + 5}]}$

Passaggio 1.3.1.3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $7 x + 5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{7 x + 5} (\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [5])}{\frac{d}{d x} [e^{7 x + 5}]}$

Passaggio 1.3.1.3.4

Poiché $7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $7 x$ rispetto a $x$ è $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{7 x + 5} (7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])}{\frac{d}{d x} [e^{7 x + 5}]}$

Passaggio 1.3.1.3.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{7 x + 5} (7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5])}{\frac{d}{d x} [e^{7 x + 5}]}$

Passaggio 1.3.1.3.6

Moltiplica $7$ per $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{7 x + 5} (7 + \frac{d}{d x} [5])}{\frac{d}{d x} [e^{7 x + 5}]}$

Passaggio 1.3.1.3.7

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{7 x + 5} (7 + 0)}{\frac{d}{d x} [e^{7 x + 5}]}$

Passaggio 1.3.1.3.8

Somma $7$ e $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{7 x + 5} \cdot 7}{\frac{d}{d x} [e^{7 x + 5}]}$

Passaggio 1.3.1.3.9

$\frac{1}{7 x + 5}$ e $7$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{7 x + 5}}{\frac{d}{d x} [e^{7 x + 5}]}$

Passaggio 1.3.1.3.10

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 7 x + 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.3.10.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $7 x + 5$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{7 x + 5}}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [7 x + 5]}$

Passaggio 1.3.1.3.10.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{7 x + 5}}{e^{u} \frac{d}{d x} [7 x + 5]}$

Passaggio 1.3.1.3.10.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $7 x + 5$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{7 x + 5}}{e^{7 x + 5} \frac{d}{d x} [7 x + 5]}$

Passaggio 1.3.1.3.11

Secondo la regola della somma, la derivata di $7 x + 5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{7 x + 5}}{e^{7 x + 5} (\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [5])}$

Passaggio 1.3.1.3.12

Poiché $7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $7 x$ rispetto a $x$ è $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{7 x + 5}}{e^{7 x + 5} (7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])}$

Passaggio 1.3.1.3.13

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{7 x + 5}}{e^{7 x + 5} (7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5])}$

Passaggio 1.3.1.3.14

Moltiplica $7$ per $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{7 x + 5}}{e^{7 x + 5} (7 + \frac{d}{d x} [5])}$

Passaggio 1.3.1.3.15

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{7 x + 5}}{e^{7 x + 5} (7 + 0)}$

Passaggio 1.3.1.3.16

Somma $7$ e $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{7 x + 5}}{e^{7 x + 5} \cdot 7}$

Passaggio 1.3.1.3.17

Sposta $7$ alla sinistra di $e^{7 x + 5}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{7 x + 5}}{7 e^{7 x + 5}}$

Passaggio 1.3.1.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$lim_{x \to \infty} \frac{7}{7 x + 5} \cdot \frac{1}{7 e^{7 x + 5}}$

Passaggio 1.3.1.5

Moltiplica $\frac{7}{7 x + 5}$ per $\frac{1}{7 e^{7 x + 5}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{7}{(7 x + 5) (7 e^{7 x + 5})}$

Passaggio 1.3.1.6

Elimina il fattore comune di $7$ .

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Passaggio 1.3.1.6.1

Elimina il fattore comune.

$lim_{x \to \infty} \frac{7}{(7 x + 5) (7 e^{7 x + 5})}$

Passaggio 1.3.1.6.2

Riscrivi l'espressione.

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{(7 x + 5) (e^{7 x + 5})}$

Passaggio 1.3.2

Poiché il suo numeratore tende a un numero reale, mentre il denominatore è illimitato, la frazione $\frac{1}{(7 x + 5) (e^{7 x + 5})}$ tende a $0$ .

$0$

Passaggio 1.4

Elenca gli asintoti orizzontali:

$y = 0$

Passaggio 1.5

Non sono presenti asintoti obliqui per le funzioni logaritmiche e trigonometriche.

Nessun asintoto obliquo

Passaggio 1.6

Questo è l'insieme di tutti gli asintoti.

Asintoti verticali: $x = - \frac{5}{7}$

Asintoti orizzontali: $y = 0$

Asintoti verticali: $x = - \frac{5}{7}$

Asintoti orizzontali: $y = 0$

Passaggio 2

Trova il punto in corrispondenza di $x = 1$ .

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Passaggio 2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f (1) = \frac{\ln (7 (1) + 5)}{e^{7 (1) + 5}}$

Passaggio 2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Moltiplica $7$ per $1$ .

$f (1) = \frac{\ln (7 + 5)}{e^{7 (1) + 5}}$

Passaggio 2.2.1.2

Somma $7$ e $5$ .

$f (1) = \frac{\ln (12)}{e^{7 (1) + 5}}$

Passaggio 2.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Moltiplica $7$ per $1$ .

$f (1) = \frac{\ln (12)}{e^{7 + 5}}$

Passaggio 2.2.2.2

Somma $7$ e $5$ .

$f (1) = \frac{\ln (12)}{e^{12}}$

Passaggio 2.2.3

La risposta finale è $\frac{\ln (12)}{e^{12}}$ .

$\frac{\ln (12)}{e^{12}}$

Passaggio 2.3

Converti $\frac{\ln (12)}{e^{12}}$ in decimale.

$y = 1.52677941 \times 10^{- 5}$

Passaggio 3

Trova il punto in corrispondenza di $x = 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$f (2) = \frac{\ln (7 (2) + 5)}{e^{7 (2) + 5}}$

Passaggio 3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Moltiplica $7$ per $2$ .

$f (2) = \frac{\ln (14 + 5)}{e^{7 (2) + 5}}$

Passaggio 3.2.1.2

Somma $14$ e $5$ .

$f (2) = \frac{\ln (19)}{e^{7 (2) + 5}}$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Moltiplica $7$ per $2$ .

$f (2) = \frac{\ln (19)}{e^{14 + 5}}$

Passaggio 3.2.2.2

Somma $14$ e $5$ .

$f (2) = \frac{\ln (19)}{e^{19}}$

Passaggio 3.2.3

La risposta finale è $\frac{\ln (19)}{e^{19}}$ .

$\frac{\ln (19)}{e^{19}}$

Passaggio 3.3

Converti $\frac{\ln (19)}{e^{19}}$ in decimale.

$y = 1.64970922 \times 10^{- 8}$

Passaggio 4

Trova il punto in corrispondenza di $x = 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $3$ nell'espressione.

$f (3) = \frac{\ln (7 (3) + 5)}{e^{7 (3) + 5}}$

Passaggio 4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Moltiplica $7$ per $3$ .

$f (3) = \frac{\ln (21 + 5)}{e^{7 (3) + 5}}$

Passaggio 4.2.1.2

Somma $21$ e $5$ .

$f (3) = \frac{\ln (26)}{e^{7 (3) + 5}}$

Passaggio 4.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Moltiplica $7$ per $3$ .

$f (3) = \frac{\ln (26)}{e^{21 + 5}}$

Passaggio 4.2.2.2

Somma $21$ e $5$ .

$f (3) = \frac{\ln (26)}{e^{26}}$

Passaggio 4.2.3

La risposta finale è $\frac{\ln (26)}{e^{26}}$ .

$\frac{\ln (26)}{e^{26}}$

Passaggio 4.3

Converti $\frac{\ln (26)}{e^{26}}$ in decimale.

$y = 1.66459052 \times 10^{- 11}$

Passaggio 5

La funzione logaritmo può essere rappresentata graficamente utilizzando l'asintoto verticale in $x = - \frac{5}{7}$ e i punti $(1, 1.52677941), (2, 1.64970922), (3, 1.66459052)$ .

Asintoto verticale: $x = - \frac{5}{7}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 1.527 \\ 2 & 1.65 \\ 3 & 1.665 \end{array}$

Passaggio 6