Calcolo Esempi

$\frac{1}{3} \cdot ({(4 + \frac{1}{x})}^{3} (\ln (x)))$

Passaggio 1

Trova gli asintoti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova dove l'espressione $\frac{\ln (x) {(4 x + 1)}^{3}}{3 x^{3}}$ è indefinita.

$x \leq 0$

Passaggio 1.2

Poiché $\frac{\ln (x) {(4 x + 1)}^{3}}{3 x^{3}}$ $\to$ $\infty$ con $x$ $\to$ $0$ da sinistra e $\frac{\ln (x) {(4 x + 1)}^{3}}{3 x^{3}}$ $\to$ $- \infty$ con $x$ $\to$ $0$ da destra, allora $x = 0$ è un asintoto verticale.

$x = 0$

Passaggio 1.3

Ignorando il logaritmo, considera la funzione razionale $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ dove $n$ è il grado del numeratore e $m$ è il grado del denominatore.

1. Se $n < m$ , l'asse x, $y = 0$ , è l'asintoto orizzontale.

2. Se $n = m$ , l'asintoto orizzontale è la linea $y = \frac{a}{b}$ .

3. Se $n > m$ , non esiste alcun asintoto orizzontale (è presente un asintoto obliquo).

Passaggio 1.4

Trova $n$ e $m$ .

$n = 3$

$m = 3$

Passaggio 1.5

Poiché $n = m$ , l'asintoto orizzontale è la retta $y = \frac{a}{b}$ dove $a = 64$ e $b = 3$ .

$y = \frac{64}{3}$

Passaggio 1.6

Non sono presenti asintoti obliqui per le funzioni logaritmiche e trigonometriche.

Nessun asintoto obliquo

Passaggio 1.7

Questo è l'insieme di tutti gli asintoti.

Asintoti verticali: $x = 0$

Asintoti orizzontali: $y = \frac{64}{3}$

Asintoti verticali: $x = 0$

Asintoti orizzontali: $y = \frac{64}{3}$

Passaggio 2

Trova il punto in corrispondenza di $x = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f (1) = \frac{1}{3} \cdot ({(4 + \frac{1}{1})}^{3} (\ln (1)))$

Passaggio 2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Dividi $1$ per $1$ .

$f (1) = \frac{1}{3} \cdot ({(4 + 1)}^{3} \ln (1))$

Passaggio 2.2.2

Somma $4$ e $1$ .

$f (1) = \frac{1}{3} \cdot (5^{3} \ln (1))$

Passaggio 2.2.3

Eleva $5$ alla potenza di $3$ .

$f (1) = \frac{1}{3} \cdot (125 \ln (1))$

Passaggio 2.2.4

Il logaritmo naturale di $1$ è $0$ .

$f (1) = \frac{1}{3} \cdot (125 \cdot 0)$

Passaggio 2.2.5

Moltiplica $125$ per $0$ .

$f (1) = \frac{1}{3} \cdot 0$

Passaggio 2.2.6

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $0$ .

$f (1) = 0$

Passaggio 2.2.7

La risposta finale è $0$ .

$0$

Passaggio 2.3

Converti $0$ in decimale.

$y = 0$

Passaggio 3

Trova il punto in corrispondenza di $x = 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$f (2) = \frac{1}{3} \cdot ({(4 + \frac{1}{2})}^{3} (\ln (2)))$

Passaggio 3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Per scrivere $4$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f (2) = \frac{1}{3} \cdot ({(4 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2})}^{3} \ln (2))$

Passaggio 3.2.2

$4$ e $\frac{2}{2}$ .

$f (2) = \frac{1}{3} \cdot ({(\frac{4 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2})}^{3} \ln (2))$

Passaggio 3.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (2) = \frac{1}{3} \cdot ({(\frac{4 \cdot 2 + 1}{2})}^{3} \ln (2))$

Passaggio 3.2.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.4.1

Moltiplica $4$ per $2$ .

$f (2) = \frac{1}{3} \cdot ({(\frac{8 + 1}{2})}^{3} \ln (2))$

Passaggio 3.2.4.2

Somma $8$ e $1$ .

$f (2) = \frac{1}{3} \cdot ({(\frac{9}{2})}^{3} \ln (2))$

Passaggio 3.2.5

Applica la regola del prodotto a $\frac{9}{2}$ .

$f (2) = \frac{1}{3} \cdot (\frac{9^{3}}{2^{3}} \cdot \ln (2))$

Passaggio 3.2.6

Eleva $9$ alla potenza di $3$ .

$f (2) = \frac{1}{3} \cdot (\frac{729}{2^{3}} \cdot \ln (2))$

Passaggio 3.2.7

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$f (2) = \frac{1}{3} \cdot (\frac{729}{8} \cdot \ln (2))$

Passaggio 3.2.8

Semplifica $\frac{729}{8} \ln (2)$ spostando $\frac{729}{8}$ all'interno del logaritmo.

$f (2) = \frac{1}{3} \cdot \ln (2^{\frac{729}{8}})$

Passaggio 3.2.9

Semplifica $\frac{1}{3} \ln (2^{\frac{729}{8}})$ spostando $\frac{1}{3}$ all'interno del logaritmo.

$f (2) = \ln ({(2^{\frac{729}{8}})}^{\frac{1}{3}})$

Passaggio 3.2.10

Moltiplica gli esponenti in ${(2^{\frac{729}{8}})}^{\frac{1}{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.10.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (2) = \ln (2^{\frac{729}{8} \cdot \frac{1}{3}})$

Passaggio 3.2.10.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.10.2.1

Scomponi $3$ da $729$ .

$f (2) = \ln (2^{\frac{3 (243)}{8} \cdot \frac{1}{3}})$

Passaggio 3.2.10.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (2) = \ln (2^{\frac{3 \cdot 243}{8} \cdot \frac{1}{3}})$

Passaggio 3.2.10.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (2) = \ln (2^{\frac{243}{8}})$

Passaggio 3.2.11

La risposta finale è $\ln (2^{\frac{243}{8}})$ .

$\ln (2^{\frac{243}{8}})$

Passaggio 3.3

Converti $\ln (2^{\frac{243}{8}})$ in decimale.

$y = 21.0543456$

Passaggio 4

Trova il punto in corrispondenza di $x = 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $3$ nell'espressione.

$f (3) = \frac{1}{3} \cdot ({(4 + \frac{1}{3})}^{3} (\ln (3)))$

Passaggio 4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Per scrivere $4$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$f (3) = \frac{1}{3} \cdot ({(4 \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3})}^{3} \ln (3))$

Passaggio 4.2.2

$4$ e $\frac{3}{3}$ .

$f (3) = \frac{1}{3} \cdot ({(\frac{4 \cdot 3}{3} + \frac{1}{3})}^{3} \ln (3))$

Passaggio 4.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (3) = \frac{1}{3} \cdot ({(\frac{4 \cdot 3 + 1}{3})}^{3} \ln (3))$

Passaggio 4.2.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.4.1

Moltiplica $4$ per $3$ .

$f (3) = \frac{1}{3} \cdot ({(\frac{12 + 1}{3})}^{3} \ln (3))$

Passaggio 4.2.4.2

Somma $12$ e $1$ .

$f (3) = \frac{1}{3} \cdot ({(\frac{13}{3})}^{3} \ln (3))$

Passaggio 4.2.5

Applica la regola del prodotto a $\frac{13}{3}$ .

$f (3) = \frac{1}{3} \cdot (\frac{13^{3}}{3^{3}} \cdot \ln (3))$

Passaggio 4.2.6

Eleva $13$ alla potenza di $3$ .

$f (3) = \frac{1}{3} \cdot (\frac{2197}{3^{3}} \cdot \ln (3))$

Passaggio 4.2.7

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$f (3) = \frac{1}{3} \cdot (\frac{2197}{27} \cdot \ln (3))$

Passaggio 4.2.8

Semplifica $\frac{2197}{27} \ln (3)$ spostando $\frac{2197}{27}$ all'interno del logaritmo.

$f (3) = \frac{1}{3} \cdot \ln (3^{\frac{2197}{27}})$

Passaggio 4.2.9

Semplifica $\frac{1}{3} \ln (3^{\frac{2197}{27}})$ spostando $\frac{1}{3}$ all'interno del logaritmo.

$f (3) = \ln ({(3^{\frac{2197}{27}})}^{\frac{1}{3}})$

Passaggio 4.2.10

Moltiplica gli esponenti in ${(3^{\frac{2197}{27}})}^{\frac{1}{3}}$ .

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Passaggio 4.2.10.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (3) = \ln (3^{\frac{2197}{27} \cdot \frac{1}{3}})$

Passaggio 4.2.10.2

Moltiplica $\frac{2197}{27} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Passaggio 4.2.10.2.1

Moltiplica $\frac{2197}{27}$ per $\frac{1}{3}$ .

$f (3) = \ln (3^{\frac{2197}{27 \cdot 3}})$

Passaggio 4.2.10.2.2

Moltiplica $27$ per $3$ .

$f (3) = \ln (3^{\frac{2197}{81}})$

Passaggio 4.2.11

La risposta finale è $\ln (3^{\frac{2197}{81}})$ .

$\ln (3^{\frac{2197}{81}})$

Passaggio 4.3

Converti $\ln (3^{\frac{2197}{81}})$ in decimale.

$y = 29.79816294$

Passaggio 5

La funzione logaritmo può essere rappresentata graficamente utilizzando l'asintoto verticale in $x = 0$ e i punti $(1, 0), (2, 21.0543456), (3, 29.79816294)$ .

Asintoto verticale: $x = 0$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 0 \\ 2 & 21.054 \\ 3 & 29.798 \end{array}$

Passaggio 6