Calcolo Esempi

$6 x^{5} + 7 y^{5} = 13 x y$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (6 x^{5} + 7 y^{5}) = \frac{d}{d x} (13 x y)$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $6 x^{5} + 7 y^{5}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [6 x^{5}] + \frac{d}{d x} [7 y^{5}]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{5}] + \frac{d}{d x} [7 y^{5}]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [6 x^{5}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 x^{5}$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [7 y^{5}]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$6 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [7 y^{5}]$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $5$ per $6$ .

$30 x^{4} + \frac{d}{d x} [7 y^{5}]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [7 y^{5}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $7 y^{5}$ rispetto a $x$ è $7 \frac{d}{d x} [y^{5}]$ .

$30 x^{4} + 7 \frac{d}{d x} [y^{5}]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{5}$ e $g (x) = y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$30 x^{4} + 7 (\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 2.3.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$30 x^{4} + 7 (5 u^{4} \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 2.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$30 x^{4} + 7 (5 y^{4} \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 2.3.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$30 x^{4} + 7 (5 y^{4} y')$

Passaggio 2.3.4

Moltiplica $5$ per $7$ .

$30 x^{4} + 35 y^{4} y'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Poiché $13$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $13 x y$ rispetto a $x$ è $13 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$13 \frac{d}{d x} [x y]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$13 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$13 (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$13 (x y' + y \cdot 1)$

Passaggio 3.5

Moltiplica $y$ per $1$ .

$13 (x y' + y)$

Passaggio 3.6

Applica la proprietà distributiva.

$13 x y' + 13 y$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$30 x^{4} + 35 y^{4} y' = 13 x y' + 13 y$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sottrai $13 x y'$ da entrambi i lati dell'equazione.

$30 x^{4} + 35 y^{4} y' - 13 x y' = 13 y$

Passaggio 5.2

Sottrai $30 x^{4}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$35 y^{4} y' - 13 x y' = 13 y - 30 x^{4}$

Passaggio 5.3

Scomponi $y'$ da $35 y^{4} y' - 13 x y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Scomponi $y'$ da $35 y^{4} y'$ .

$y' (35 y^{4}) - 13 x y' = 13 y - 30 x^{4}$

Passaggio 5.3.2

Scomponi $y'$ da $- 13 x y'$ .

$y' (35 y^{4}) + y' (- 13 x) = 13 y - 30 x^{4}$

Passaggio 5.3.3

Scomponi $y'$ da $y' (35 y^{4}) + y' (- 13 x)$ .

$y' (35 y^{4} - 13 x) = 13 y - 30 x^{4}$

Passaggio 5.4

Dividi per $35 y^{4} - 13 x$ ciascun termine in $y' (35 y^{4} - 13 x) = 13 y - 30 x^{4}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Dividi per $35 y^{4} - 13 x$ ciascun termine in $y' (35 y^{4} - 13 x) = 13 y - 30 x^{4}$ .

$\frac{y' (35 y^{4} - 13 x)}{35 y^{4} - 13 x} = \frac{13 y}{35 y^{4} - 13 x} + \frac{- 30 x^{4}}{35 y^{4} - 13 x}$

Passaggio 5.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1

Elimina il fattore comune di $35 y^{4} - 13 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (35 y^{4} - 13 x)}{35 y^{4} - 13 x} = \frac{13 y}{35 y^{4} - 13 x} + \frac{- 30 x^{4}}{35 y^{4} - 13 x}$

Passaggio 5.4.2.1.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{13 y}{35 y^{4} - 13 x} + \frac{- 30 x^{4}}{35 y^{4} - 13 x}$

Passaggio 5.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = \frac{13 y - 30 x^{4}}{35 y^{4} - 13 x}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{13 y - 30 x^{4}}{35 y^{4} - 13 x}$