Calcolo Esempi

$y = {(\frac{x - 5}{5 x + 1})}^{3}$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(\frac{x - 5}{5 x + 1})}^{3})$

Passaggio 2

La derivata di $y$ rispetto a $x$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = \frac{x - 5}{5 x + 1}$ .

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Passaggio 3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\frac{x - 5}{5 x + 1}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [\frac{x - 5}{5 x + 1}]$

Passaggio 3.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [\frac{x - 5}{5 x + 1}]$

Passaggio 3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{x - 5}{5 x + 1}$ .

$3 {(\frac{x - 5}{5 x + 1})}^{2} \frac{d}{d x} [\frac{x - 5}{5 x + 1}]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x - 5$ e $g (x) = 5 x + 1$ .

$3 {(\frac{x - 5}{5 x + 1})}^{2} \frac{(5 x + 1) \frac{d}{d x} [x - 5] - (x - 5) \frac{d}{d x} [5 x + 1]}{{(5 x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.3

Differenzia.

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Passaggio 3.3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$3 {(\frac{x - 5}{5 x + 1})}^{2} \frac{(5 x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]) - (x - 5) \frac{d}{d x} [5 x + 1]}{{(5 x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 {(\frac{x - 5}{5 x + 1})}^{2} \frac{(5 x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 5]) - (x - 5) \frac{d}{d x} [5 x + 1]}{{(5 x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.3.3

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$3 {(\frac{x - 5}{5 x + 1})}^{2} \frac{(5 x + 1) (1 + 0) - (x - 5) \frac{d}{d x} [5 x + 1]}{{(5 x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.3.4

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.3.4.1

Somma $1$ e $0$ .

$3 {(\frac{x - 5}{5 x + 1})}^{2} \frac{(5 x + 1) \cdot 1 - (x - 5) \frac{d}{d x} [5 x + 1]}{{(5 x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.3.4.2

Moltiplica $5 x + 1$ per $1$ .

$3 {(\frac{x - 5}{5 x + 1})}^{2} \frac{5 x + 1 - (x - 5) \frac{d}{d x} [5 x + 1]}{{(5 x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.3.5

Secondo la regola della somma, la derivata di $5 x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$3 {(\frac{x - 5}{5 x + 1})}^{2} \frac{5 x + 1 - (x - 5) (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(5 x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.3.6

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 {(\frac{x - 5}{5 x + 1})}^{2} \frac{5 x + 1 - (x - 5) (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(5 x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.3.7

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 {(\frac{x - 5}{5 x + 1})}^{2} \frac{5 x + 1 - (x - 5) (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(5 x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.3.8

Moltiplica $5$ per $1$ .

$3 {(\frac{x - 5}{5 x + 1})}^{2} \frac{5 x + 1 - (x - 5) (5 + \frac{d}{d x} [1])}{{(5 x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.3.9

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$3 {(\frac{x - 5}{5 x + 1})}^{2} \frac{5 x + 1 - (x - 5) (5 + 0)}{{(5 x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.3.10

Riduci le frazioni.

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Passaggio 3.3.10.1

Somma $5$ e $0$ .

$3 {(\frac{x - 5}{5 x + 1})}^{2} \frac{5 x + 1 - (x - 5) \cdot 5}{{(5 x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.3.10.2

Moltiplica $5$ per $- 1$ .

$3 {(\frac{x - 5}{5 x + 1})}^{2} \frac{5 x + 1 - 5 (x - 5)}{{(5 x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.3.10.3

$\frac{5 x + 1 - 5 (x - 5)}{{(5 x + 1)}^{2}}$ e $3$ .

$\frac{(5 x + 1 - 5 (x - 5)) \cdot 3}{{(5 x + 1)}^{2}} {(\frac{x - 5}{5 x + 1})}^{2}$

Passaggio 3.3.10.4

Sposta $3$ alla sinistra di $5 x + 1 - 5 (x - 5)$ .

$\frac{3 \cdot (5 x + 1 - 5 (x - 5))}{{(5 x + 1)}^{2}} {(\frac{x - 5}{5 x + 1})}^{2}$

Passaggio 3.4

Semplifica.

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Passaggio 3.4.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{x - 5}{5 x + 1}$ .

$\frac{3 (5 x + 1 - 5 (x - 5))}{{(5 x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x - 5)}^{2}}{{(5 x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.4.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{3 (5 x + 1 - 5 x - 5 \cdot - 5)}{{(5 x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x - 5)}^{2}}{{(5 x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.4.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{3 (5 x) + 3 \cdot 1 + 3 (- 5 x) + 3 (- 5 \cdot - 5)}{{(5 x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x - 5)}^{2}}{{(5 x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.4.4

Raccogli i termini.

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Passaggio 3.4.4.1

Moltiplica $5$ per $3$ .

$\frac{15 x + 3 \cdot 1 + 3 (- 5 x) + 3 (- 5 \cdot - 5)}{{(5 x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x - 5)}^{2}}{{(5 x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.4.4.2

Moltiplica $3$ per $1$ .

$\frac{15 x + 3 + 3 (- 5 x) + 3 (- 5 \cdot - 5)}{{(5 x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x - 5)}^{2}}{{(5 x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.4.4.3

Moltiplica $- 5$ per $3$ .

$\frac{15 x + 3 - 15 x + 3 (- 5 \cdot - 5)}{{(5 x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x - 5)}^{2}}{{(5 x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.4.4.4

Moltiplica $- 5$ per $- 5$ .

$\frac{15 x + 3 - 15 x + 3 \cdot 25}{{(5 x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x - 5)}^{2}}{{(5 x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.4.4.5

Moltiplica $3$ per $25$ .

$\frac{15 x + 3 - 15 x + 75}{{(5 x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x - 5)}^{2}}{{(5 x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.4.4.6

Sottrai $15 x$ da $15 x$ .

$\frac{0 + 3 + 75}{{(5 x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x - 5)}^{2}}{{(5 x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.4.4.7

Somma $0$ e $3$ .

$\frac{3 + 75}{{(5 x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x - 5)}^{2}}{{(5 x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.4.4.8

Somma $3$ e $75$ .

$\frac{78}{{(5 x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x - 5)}^{2}}{{(5 x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.4.4.9

Moltiplica $\frac{78}{{(5 x + 1)}^{2}}$ per $\frac{{(x - 5)}^{2}}{{(5 x + 1)}^{2}}$ .

$\frac{78 {(x - 5)}^{2}}{{(5 x + 1)}^{2} {(5 x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.4.4.10

Moltiplica ${(5 x + 1)}^{2}$ per ${(5 x + 1)}^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.4.4.10.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{78 {(x - 5)}^{2}}{{(5 x + 1)}^{2 + 2}}$

Passaggio 3.4.4.10.2

Somma $2$ e $2$ .

$\frac{78 {(x - 5)}^{2}}{{(5 x + 1)}^{4}}$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = \frac{78 {(x - 5)}^{2}}{{(5 x + 1)}^{4}}$

Passaggio 5

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{78 {(x - 5)}^{2}}{{(5 x + 1)}^{4}}$