Calcolo Esempi

$y = \ln^{12} (x) + \ln (x^{12})$

Passaggio 1

Rimuovi le parentesi.

$y = \ln^{12} (x) + \ln (x^{12})$

Passaggio 2

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\ln^{12} (x) + \ln (x^{12}))$

Passaggio 3

La derivata di $y$ rispetto a $x$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 4

Differenzia il lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\ln^{12} (x) + \ln (x^{12})$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\ln^{12} (x)] + \frac{d}{d x} [\ln (x^{12})]$ .

$\frac{d}{d x} [\ln^{12} (x)] + \frac{d}{d x} [\ln (x^{12})]$

Passaggio 4.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\ln^{12} (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{12}$ e $g (x) = \ln (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{12}] \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [\ln (x^{12})]$

Passaggio 4.2.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 12$ .

$12 {u_{1}}^{11} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [\ln (x^{12})]$

Passaggio 4.2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $\ln (x)$ .

$12 \ln^{11} (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [\ln (x^{12})]$

Passaggio 4.2.2

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$12 \ln^{11} (x) \frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [\ln (x^{12})]$

Passaggio 4.2.3

$\frac{1}{x}$ e $12$ .

$\frac{12}{x} \ln^{11} (x) + \frac{d}{d x} [\ln (x^{12})]$

Passaggio 4.2.4

$\frac{12}{x}$ e $\ln^{11} (x)$ .

$\frac{12 \ln^{11} (x)}{x} + \frac{d}{d x} [\ln (x^{12})]$

Passaggio 4.3

Calcola $\frac{d}{d x} [\ln (x^{12})]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x^{12}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $x^{12}$ .

$\frac{12 \ln^{11} (x)}{x} + \frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{12}]$

Passaggio 4.3.1.2

La derivata di $\ln (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $\frac{1}{u_{2}}$ .

$\frac{12 \ln^{11} (x)}{x} + \frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [x^{12}]$

Passaggio 4.3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $x^{12}$ .

$\frac{12 \ln^{11} (x)}{x} + \frac{1}{x^{12}} \frac{d}{d x} [x^{12}]$

Passaggio 4.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 12$ .

$\frac{12 \ln^{11} (x)}{x} + \frac{1}{x^{12}} (12 x^{11})$

Passaggio 4.3.3

$12$ e $\frac{1}{x^{12}}$ .

$\frac{12 \ln^{11} (x)}{x} + \frac{12}{x^{12}} x^{11}$

Passaggio 4.3.4

$\frac{12}{x^{12}}$ e $x^{11}$ .

$\frac{12 \ln^{11} (x)}{x} + \frac{12 x^{11}}{x^{12}}$

Passaggio 4.3.5

Elimina il fattore comune di $x^{11}$ e $x^{12}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.5.1

Scomponi $x^{11}$ da $12 x^{11}$ .

$\frac{12 \ln^{11} (x)}{x} + \frac{x^{11} \cdot 12}{x^{12}}$

Passaggio 4.3.5.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.5.2.1

Scomponi $x^{11}$ da $x^{12}$ .

$\frac{12 \ln^{11} (x)}{x} + \frac{x^{11} \cdot 12}{x^{11} x}$

Passaggio 4.3.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{12 \ln^{11} (x)}{x} + \frac{x^{11} \cdot 12}{x^{11} x}$

Passaggio 4.3.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{12 \ln^{11} (x)}{x} + \frac{12}{x}$

Passaggio 5

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = \frac{12 \ln^{11} (x)}{x} + \frac{12}{x}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{12 \ln^{11} (x)}{x} + \frac{12}{x}$