Calcolo Esempi

${(2 x - y)}^{2} - 3 y = 2$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} ({(2 x - y)}^{2} - 3 y) = \frac{d}{d x} (2)$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 2.1

Riscrivi ${(2 x - y)}^{2}$ come $(2 x - y) (2 x - y)$ .

$\frac{d}{d x} [(2 x - y) (2 x - y) - 3 y]$

Passaggio 2.2

Espandi $(2 x - y) (2 x - y)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d}{d x} [2 x (2 x - y) - y (2 x - y) - 3 y]$

Passaggio 2.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d}{d x} [2 x (2 x) + 2 x (- y) - y (2 x - y) - 3 y]$

Passaggio 2.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d}{d x} [2 x (2 x) + 2 x (- y) - y (2 x) - y (- y) - 3 y]$

Passaggio 2.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{d}{d x} [2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x (- y) - y (2 x) - y (- y) - 3 y]$

Passaggio 2.3.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.2.1

Sposta $x$ .

$\frac{d}{d x} [2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x (- y) - y (2 x) - y (- y) - 3 y]$

Passaggio 2.3.1.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{d}{d x} [2 \cdot 2 x^{2} + 2 x (- y) - y (2 x) - y (- y) - 3 y]$

Passaggio 2.3.1.3

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 2 x (- y) - y (2 x) - y (- y) - 3 y]$

Passaggio 2.3.1.4

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 2 \cdot - 1 x y - y (2 x) - y (- y) - 3 y]$

Passaggio 2.3.1.5

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 2 x y - y (2 x) - y (- y) - 3 y]$

Passaggio 2.3.1.6

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 2 x y - 1 \cdot 2 y x - y (- y) - 3 y]$

Passaggio 2.3.1.7

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 2 x y - 2 y x - y (- y) - 3 y]$

Passaggio 2.3.1.8

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 2 x y - 2 y x - 1 \cdot - 1 y \cdot y - 3 y]$

Passaggio 2.3.1.9

Moltiplica $y$ per $y$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.9.1

Sposta $y$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 2 x y - 2 y x - 1 \cdot - 1 (y \cdot y) - 3 y]$

Passaggio 2.3.1.9.2

Moltiplica $y$ per $y$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 2 x y - 2 y x - 1 \cdot - 1 y^{2} - 3 y]$

Passaggio 2.3.1.10

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 2 x y - 2 y x + 1 y^{2} - 3 y]$

Passaggio 2.3.1.11

Moltiplica $y^{2}$ per $1$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 2 x y - 2 y x + y^{2} - 3 y]$

Passaggio 2.3.2

Sottrai $2 y x$ da $- 2 x y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Sposta $y$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 2 x y - 2 x y + y^{2} - 3 y]$

Passaggio 2.3.2.2

Sottrai $2 x y$ da $- 2 x y$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x y + y^{2} - 3 y]$

Passaggio 2.4

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 x^{2} - 4 x y + y^{2} - 3 y$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 y]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 y]$

Passaggio 2.5

Calcola $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

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Passaggio 2.5.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x^{2}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 y]$

Passaggio 2.5.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4 x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 y]$

Passaggio 2.5.3

Moltiplica $2$ per $4$ .

$8 x + \frac{d}{d x} [- 4 x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 y]$

Passaggio 2.6

Calcola $\frac{d}{d x} [- 4 x y]$ .

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Passaggio 2.6.1

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4 x y$ rispetto a $x$ è $- 4 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$8 x - 4 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 y]$

Passaggio 2.6.2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$8 x - 4 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 y]$

Passaggio 2.6.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$8 x - 4 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 y]$

Passaggio 2.6.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$8 x - 4 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 y]$

Passaggio 2.6.5

Moltiplica $y$ per $1$ .

$8 x - 4 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 y]$

Passaggio 2.7

Calcola $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

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Passaggio 2.7.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

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Passaggio 2.7.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$8 x - 4 (x y' + y) + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 3 y]$

Passaggio 2.7.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$8 x - 4 (x y' + y) + 2 u \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 3 y]$

Passaggio 2.7.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$8 x - 4 (x y' + y) + 2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 3 y]$

Passaggio 2.7.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$8 x - 4 (x y' + y) + 2 y y' + \frac{d}{d x} [- 3 y]$

Passaggio 2.8

Calcola $\frac{d}{d x} [- 3 y]$ .

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Passaggio 2.8.1

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3 y$ rispetto a $x$ è $- 3 \frac{d}{d x} [y]$ .

$8 x - 4 (x y' + y) + 2 y y' - 3 \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 2.8.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$8 x - 4 (x y' + y) + 2 y y' - 3 y'$

Passaggio 2.9

Semplifica.

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Passaggio 2.9.1

Applica la proprietà distributiva.

$8 x - 4 (x y') - 4 y + 2 y y' - 3 y'$

Passaggio 2.9.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$8 x - 4 x y' - 4 y + 2 y y' - 3 y'$

Passaggio 2.9.3

Riordina i termini.

$- 4 x y' + 2 y y' + 8 x - 4 y - 3 y'$

Passaggio 3

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$- 4 x y' + 2 y y' + 8 x - 4 y - 3 y' = 0$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

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Passaggio 5.1

Sposta tutti i termini non contenenti $y'$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 5.1.1

Sottrai $8 x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 4 x y' + 2 y y' - 4 y - 3 y' = - 8 x$

Passaggio 5.1.2

Somma $4 y$ a entrambi i lati dell'equazione.

$- 4 x y' + 2 y y' - 3 y' = - 8 x + 4 y$

Passaggio 5.2

Scomponi $y'$ da $- 4 x y' + 2 y y' - 3 y'$ .

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Passaggio 5.2.1

Scomponi $y'$ da $- 4 x y'$ .

$y' (- 4 x) + 2 y y' - 3 y' = - 8 x + 4 y$

Passaggio 5.2.2

Scomponi $y'$ da $2 y y'$ .

$y' (- 4 x) + y' (2 y) - 3 y' = - 8 x + 4 y$

Passaggio 5.2.3

Scomponi $y'$ da $- 3 y'$ .

$y' (- 4 x) + y' (2 y) + y' \cdot - 3 = - 8 x + 4 y$

Passaggio 5.2.4

Scomponi $y'$ da $y' (- 4 x) + y' (2 y)$ .

$y' (- 4 x + 2 y) + y' \cdot - 3 = - 8 x + 4 y$

Passaggio 5.2.5

Scomponi $y'$ da $y' (- 4 x + 2 y) + y' \cdot - 3$ .

$y' (- 4 x + 2 y - 3) = - 8 x + 4 y$

Passaggio 5.3

Dividi per $- 4 x + 2 y - 3$ ciascun termine in $y' (- 4 x + 2 y - 3) = - 8 x + 4 y$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Dividi per $- 4 x + 2 y - 3$ ciascun termine in $y' (- 4 x + 2 y - 3) = - 8 x + 4 y$ .

$\frac{y' (- 4 x + 2 y - 3)}{- 4 x + 2 y - 3} = \frac{- 8 x}{- 4 x + 2 y - 3} + \frac{4 y}{- 4 x + 2 y - 3}$

Passaggio 5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Elimina il fattore comune di $- 4 x + 2 y - 3$ .

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Passaggio 5.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (- 4 x + 2 y - 3)}{- 4 x + 2 y - 3} = \frac{- 8 x}{- 4 x + 2 y - 3} + \frac{4 y}{- 4 x + 2 y - 3}$

Passaggio 5.3.2.1.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{- 8 x}{- 4 x + 2 y - 3} + \frac{4 y}{- 4 x + 2 y - 3}$

Passaggio 5.3.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.3.3.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = \frac{- 8 x + 4 y}{- 4 x + 2 y - 3}$

Passaggio 5.3.3.2

Scomponi $4$ da $- 8 x + 4 y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.2.1

Scomponi $4$ da $- 8 x$ .

$y' = \frac{4 (- 2 x) + 4 y}{- 4 x + 2 y - 3}$

Passaggio 5.3.3.2.2

Scomponi $4$ da $4 y$ .

$y' = \frac{4 (- 2 x) + 4 (y)}{- 4 x + 2 y - 3}$

Passaggio 5.3.3.2.3

Scomponi $4$ da $4 (- 2 x) + 4 (y)$ .

$y' = \frac{4 (- 2 x + y)}{- 4 x + 2 y - 3}$

Passaggio 5.3.3.3

Scomponi $- 1$ da $- 2 x$ .

$y' = \frac{4 (- (2 x) + y)}{- 4 x + 2 y - 3}$

Passaggio 5.3.3.4

Scomponi $- 1$ da $y$ .

$y' = \frac{4 (- (2 x) - 1 (- y))}{- 4 x + 2 y - 3}$

Passaggio 5.3.3.5

Scomponi $- 1$ da $- (2 x) - 1 (- y)$ .

$y' = \frac{4 (- (2 x - y))}{- 4 x + 2 y - 3}$

Passaggio 5.3.3.6

Riscrivi $- (2 x - y)$ come $- 1 (2 x - y)$ .

$y' = \frac{4 (- 1 (2 x - y))}{- 4 x + 2 y - 3}$

Passaggio 5.3.3.7

Scomponi $- 1$ da $- 4 x$ .

$y' = \frac{4 (- 1 (2 x - y))}{- (4 x) + 2 y - 3}$

Passaggio 5.3.3.8

Scomponi $- 1$ da $2 y$ .

$y' = \frac{4 (- 1 (2 x - y))}{- (4 x) - (- 2 y) - 3}$

Passaggio 5.3.3.9

Scomponi $- 1$ da $- (4 x) - (- 2 y)$ .

$y' = \frac{4 (- 1 (2 x - y))}{- (4 x - 2 y) - 3}$

Passaggio 5.3.3.10

Riscrivi $- 3$ come $- 1 (3)$ .

$y' = \frac{4 (- 1 (2 x - y))}{- (4 x - 2 y) - 1 (3)}$

Passaggio 5.3.3.11

Scomponi $- 1$ da $- (4 x - 2 y) - 1 (3)$ .

$y' = \frac{4 (- 1 (2 x - y))}{- (4 x - 2 y + 3)}$

Passaggio 5.3.3.12

Riscrivi $- (4 x - 2 y + 3)$ come $- 1 (4 x - 2 y + 3)$ .

$y' = \frac{4 (- 1 (2 x - y))}{- 1 (4 x - 2 y + 3)}$

Passaggio 5.3.3.13

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{4 (- 1 (2 x - y))}{- 1 (4 x - 2 y + 3)}$

Passaggio 5.3.3.14

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{4 (2 x - y)}{4 x - 2 y + 3}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 (2 x - y)}{4 x - 2 y + 3}$