Calcolo Esempi

$x^{2} - x y - 3 y - 1 = 0$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (x^{2} - x y - 3 y - 1) = \frac{d}{d x} (0)$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - x y - 3 y - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- 3 y] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- 3 y] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- 3 y] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- x y]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x y$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x y]$ .

$2 x - \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 3 y] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$2 x - (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 3 y] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.2.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$2 x - (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 3 y] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 x - (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 3 y] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.2.5

Moltiplica $y$ per $1$ .

$2 x - (x y' + y) + \frac{d}{d x} [- 3 y] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 3 y]$ .

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Passaggio 2.3.1

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3 y$ rispetto a $x$ è $- 3 \frac{d}{d x} [y]$ .

$2 x - (x y' + y) - 3 \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.3.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$2 x - (x y' + y) - 3 y' + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 x - (x y' + y) - 3 y' + 0$

Passaggio 2.5

Semplifica.

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Passaggio 2.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 x - (x y') - y - 3 y' + 0$

Passaggio 2.5.2

Somma $2 x - x y' - y - 3 y'$ e $0$ .

$2 x - x y' - y - 3 y'$

Passaggio 2.5.3

Riordina i termini.

$- x y' + 2 x - y - 3 y'$

Passaggio 3

Poiché $0$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $0$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$- x y' + 2 x - y - 3 y' = 0$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sposta tutti i termini non contenenti $y'$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Sottrai $2 x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- x y' - y - 3 y' = - 2 x$

Passaggio 5.1.2

Somma $y$ a entrambi i lati dell'equazione.

$- x y' - 3 y' = - 2 x + y$

Passaggio 5.2

Scomponi $y'$ da $- x y' - 3 y'$ .

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Passaggio 5.2.1

Scomponi $y'$ da $- x y'$ .

$y' (- x) - 3 y' = - 2 x + y$

Passaggio 5.2.2

Scomponi $y'$ da $- 3 y'$ .

$y' (- x) + y' \cdot - 3 = - 2 x + y$

Passaggio 5.2.3

Scomponi $y'$ da $y' (- x) + y' \cdot - 3$ .

$y' (- x - 3) = - 2 x + y$

Passaggio 5.3

Dividi per $- x - 3$ ciascun termine in $y' (- x - 3) = - 2 x + y$ e semplifica.

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Passaggio 5.3.1

Dividi per $- x - 3$ ciascun termine in $y' (- x - 3) = - 2 x + y$ .

$\frac{y' (- x - 3)}{- x - 3} = \frac{- 2 x}{- x - 3} + \frac{y}{- x - 3}$

Passaggio 5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Elimina il fattore comune di $- x - 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (- x - 3)}{- x - 3} = \frac{- 2 x}{- x - 3} + \frac{y}{- x - 3}$

Passaggio 5.3.2.1.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{- 2 x}{- x - 3} + \frac{y}{- x - 3}$

Passaggio 5.3.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.3.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{2 x}{- x - 3} + \frac{y}{- x - 3}$

Passaggio 5.3.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = \frac{- 2 x + y}{- x - 3}$

Passaggio 5.3.3.3

Scomponi $- 1$ da $- 2 x$ .

$y' = \frac{- (2 x) + y}{- x - 3}$

Passaggio 5.3.3.4

Scomponi $- 1$ da $y$ .

$y' = \frac{- (2 x) - 1 (- y)}{- x - 3}$

Passaggio 5.3.3.5

Scomponi $- 1$ da $- (2 x) - 1 (- y)$ .

$y' = \frac{- (2 x - y)}{- x - 3}$

Passaggio 5.3.3.6

Riscrivi $- (2 x - y)$ come $- 1 (2 x - y)$ .

$y' = \frac{- 1 (2 x - y)}{- x - 3}$

Passaggio 5.3.3.7

Scomponi $- 1$ da $- x$ .

$y' = \frac{- 1 (2 x - y)}{- (x) - 3}$

Passaggio 5.3.3.8

Riscrivi $- 3$ come $- 1 (3)$ .

$y' = \frac{- 1 (2 x - y)}{- (x) - 1 (3)}$

Passaggio 5.3.3.9

Scomponi $- 1$ da $- (x) - 1 (3)$ .

$y' = \frac{- 1 (2 x - y)}{- (x + 3)}$

Passaggio 5.3.3.10

Riscrivi $- (x + 3)$ come $- 1 (x + 3)$ .

$y' = \frac{- 1 (2 x - y)}{- 1 (x + 3)}$

Passaggio 5.3.3.11

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{- 1 (2 x - y)}{- 1 (x + 3)}$

Passaggio 5.3.3.12

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{2 x - y}{x + 3}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x - y}{x + 3}$