Calcolo Esempi

$q = \cos (\frac{t}{\sqrt{t + 5}})$

Passaggio 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{t + 5}$ come ${(t + 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$q = \cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}})$

Passaggio 2

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d t} (q) = \frac{d}{d t} (\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}))$

Passaggio 3

La derivata di $q$ rispetto a $t$ è $q'$ .

$q'$

Passaggio 4

Differenzia il lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = \cos (t)$ e $g (t) = \frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d t} [\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}]$

Passaggio 4.1.2

La derivata di $\cos (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $- \sin (u_{1})$ .

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d t} [\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}]$

Passaggio 4.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{d}{d t} [\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}]$

Passaggio 4.2

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ è $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ dove $f (t) = t$ e $g (t) = {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$- \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}]}{{({(t + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 4.3

Moltiplica gli esponenti in ${({(t + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}]}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 4.3.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$- \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}]}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 4.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$- \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}]}{{(t + 5)}^{1}}$

Passaggio 4.4

Semplifica.

$- \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}]}{t + 5}$

Passaggio 4.5

Differenzia usando la regola di potenza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.1

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - t \frac{d}{d t} [{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}]}{t + 5}$

Passaggio 4.5.2

Moltiplica ${(t + 5)}^{\frac{1}{2}}$ per $1$ .

$- \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} - t \frac{d}{d t} [{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}]}{t + 5}$

Passaggio 4.6

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = t^{\frac{1}{2}}$ e $g (t) = t + 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $t + 5$ .

$- \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d t} [t + 5])}{t + 5}$

Passaggio 4.6.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$- \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [t + 5])}{t + 5}$

Passaggio 4.6.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $t + 5$ .

$- \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} {(t + 5)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [t + 5])}{t + 5}$

Passaggio 4.7

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$- \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} {(t + 5)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d t} [t + 5])}{t + 5}$

Passaggio 4.8

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$- \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} {(t + 5)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [t + 5])}{t + 5}$

Passaggio 4.9

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} {(t + 5)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [t + 5])}{t + 5}$

Passaggio 4.10

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.10.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} {(t + 5)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d t} [t + 5])}{t + 5}$

Passaggio 4.10.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$- \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} {(t + 5)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d t} [t + 5])}{t + 5}$

Passaggio 4.11

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.11.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} {(t + 5)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t + 5])}{t + 5}$

Passaggio 4.11.2

$\frac{1}{2}$ e ${(t + 5)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$- \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{{(t + 5)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d t} [t + 5])}{t + 5}$

Passaggio 4.11.3

Sposta ${(t + 5)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [t + 5])}{t + 5}$

Passaggio 4.11.4

$\frac{1}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ e $t$ .

$- \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} - \frac{t}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [t + 5]}{t + 5}$

Passaggio 4.12

Secondo la regola della somma, la derivata di $t + 5$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [5]$ .

$- \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} - \frac{t}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [5])}{t + 5}$

Passaggio 4.13

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} - \frac{t}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d t} [5])}{t + 5}$

Passaggio 4.14

Poiché $5$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $5$ rispetto a $t$ è $0$ .

$- \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} - \frac{t}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 0)}{t + 5}$

Passaggio 4.15

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.15.1

Somma $1$ e $0$ .

$- \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} - \frac{t}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1}{t + 5}$

Passaggio 4.15.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} - \frac{t}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{t + 5}$

Passaggio 4.16

Per scrivere ${(t + 5)}^{\frac{1}{2}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{t}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{t + 5}$

Passaggio 4.17

${(t + 5)}^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{\frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} (2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{t}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{t + 5}$

Passaggio 4.18

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{\frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} (2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}) - t}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{t + 5}$

Passaggio 4.19

Moltiplica ${(t + 5)}^{\frac{1}{2}}$ per ${(t + 5)}^{\frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.19.1

Sposta ${(t + 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$- \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{\frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} {(t + 5)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 - t}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{t + 5}$

Passaggio 4.19.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{\frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2 - t}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{t + 5}$

Passaggio 4.19.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{\frac{{(t + 5)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2 - t}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{t + 5}$

Passaggio 4.19.4

Somma $1$ e $1$ .

$- \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{\frac{{(t + 5)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2 - t}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{t + 5}$

Passaggio 4.19.5

Dividi $2$ per $2$ .

$- \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{\frac{{(t + 5)}^{1} \cdot 2 - t}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{t + 5}$

Passaggio 4.20

Semplifica ${(t + 5)}^{1} \cdot 2$ .

$- \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{\frac{(t + 5) \cdot 2 - t}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{t + 5}$

Passaggio 4.21

Sposta $2$ alla sinistra di $t + 5$ .

$- \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{\frac{2 \cdot (t + 5) - t}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{t + 5}$

Passaggio 4.22

Riscrivi $\frac{\frac{2 (t + 5) - t}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{t + 5}$ come un prodotto.

$- \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) (\frac{2 (t + 5) - t}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{t + 5})$

Passaggio 4.23

Moltiplica $\frac{2 (t + 5) - t}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ per $\frac{1}{t + 5}$ .

$- \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{2 (t + 5) - t}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}} (t + 5)}$

Passaggio 4.24

Eleva $t + 5$ alla potenza di $1$ .

$- \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{2 (t + 5) - t}{2 ({(t + 5)}^{1} {(t + 5)}^{\frac{1}{2}})}$

Passaggio 4.25

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{2 (t + 5) - t}{2 {(t + 5)}^{1 + \frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.26

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.26.1

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$- \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{2 (t + 5) - t}{2 {(t + 5)}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.26.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{2 (t + 5) - t}{2 {(t + 5)}^{\frac{2 + 1}{2}}}$

Passaggio 4.26.3

Somma $2$ e $1$ .

$- \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{2 (t + 5) - t}{2 {(t + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 4.27

$\frac{2 (t + 5) - t}{2 {(t + 5)}^{\frac{3}{2}}}$ e $\sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}})$ .

$- \frac{(2 (t + 5) - t) \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}})}{2 {(t + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 4.28

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.28.1

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{(2 t + 2 \cdot 5 - t) \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}})}{2 {(t + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 4.28.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.28.2.1

Moltiplica $2$ per $5$ .

$- \frac{(2 t + 10 - t) \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}})}{2 {(t + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 4.28.2.2

Sottrai $t$ da $2 t$ .

$- \frac{(t + 10) \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}})}{2 {(t + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 4.28.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{t \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) + 10 \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}})}{2 {(t + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 4.28.3

Scomponi $\sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}})$ da $t \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) + 10 \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.28.3.1

Scomponi $\sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}})$ da $t \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}})$ .

$- \frac{\sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) t + 10 \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}})}{2 {(t + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 4.28.3.2

Scomponi $\sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}})$ da $10 \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}})$ .

$- \frac{\sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) t + \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \cdot 10}{2 {(t + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 4.28.3.3

Scomponi $\sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}})$ da $\sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) t + \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \cdot 10$ .

$- \frac{\sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) (t + 10)}{2 {(t + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 5

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$q' = - \frac{\sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) (t + 10)}{2 {(t + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 6

Sostituisci $q'$ con $\frac{d q}{d t}$ .

$\frac{d q}{d t} = - \frac{\sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) (t + 10)}{2 {(t + 5)}^{\frac{3}{2}}}$