Calcolo Esempi

$6 e^{5 t} = 3 e^{2 t}$

Passaggio 1

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (6 e^{5 t}) = \ln (3 e^{2 t})$

Passaggio 2

Espandi il lato sinistro.

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Passaggio 2.1

Riscrivi $\ln (6 e^{5 t})$ come $\ln (6) + \ln (e^{5 t})$ .

$\ln (6) + \ln (e^{5 t}) = \ln (3 e^{2 t})$

Passaggio 2.2

Espandi $\ln (e^{5 t})$ spostando $5 t$ fuori dal logaritmo.

$\ln (6) + 5 t \ln (e) = \ln (3 e^{2 t})$

Passaggio 2.3

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$\ln (6) + 5 t \cdot 1 = \ln (3 e^{2 t})$

Passaggio 2.4

Moltiplica $5$ per $1$ .

$\ln (6) + 5 t = \ln (3 e^{2 t})$

Passaggio 3

Espandi il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi $\ln (3 e^{2 t})$ come $\ln (3) + \ln (e^{2 t})$ .

$\ln (6) + 5 t = \ln (3) + \ln (e^{2 t})$

Passaggio 3.2

Espandi $\ln (e^{2 t})$ spostando $2 t$ fuori dal logaritmo.

$\ln (6) + 5 t = \ln (3) + 2 t \ln (e)$

Passaggio 3.3

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$\ln (6) + 5 t = \ln (3) + 2 t \cdot 1$

Passaggio 3.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\ln (6) + 5 t = \ln (3) + 2 t$

Passaggio 4

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$\ln (6) - \ln (3) = - 5 t + 2 t$

Passaggio 5

Utilizza la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{6}{3}) = - 5 t + 2 t$

Passaggio 6

Dividi $6$ per $3$ .

$\ln (2) = - 5 t + 2 t$

Passaggio 7

Somma $- 5 t$ e $2 t$ .

$\ln (2) = - 3 t$

Passaggio 8

Poiché $t$ si trova sul lato destro dell'equazione, inverti i lati così che si trovi sul lato sinistro.

$- 3 t = \ln (2)$

Passaggio 9

Dividi per $- 3$ ciascun termine in $- 3 t = \ln (2)$ e semplifica.

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Passaggio 9.1

Dividi per $- 3$ ciascun termine in $- 3 t = \ln (2)$ .

$\frac{- 3 t}{- 3} = \frac{\ln (2)}{- 3}$

Passaggio 9.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 9.2.1

Elimina il fattore comune di $- 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 3 t}{- 3} = \frac{\ln (2)}{- 3}$

Passaggio 9.2.1.2

Dividi $t$ per $1$ .

$t = \frac{\ln (2)}{- 3}$

Passaggio 9.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$t = - \frac{\ln (2)}{3}$

Passaggio 10

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$t = - \frac{\ln (2)}{3}$

Forma decimale:

$t = - 0.23104906 \dots$