Calcolo Esempi

$e^{\ln (x) - 3 \ln (x)} = \frac{5}{2}$

Passaggio 1

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 1.1

Semplifica $e^{\ln (x) - 3 \ln (x)}$ .

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Passaggio 1.1.1

Semplifica $- 3 \ln (x)$ spostando $3$ all'interno del logaritmo.

$e^{\ln (x) - \ln (x^{3})} = \frac{5}{2}$

Passaggio 1.1.2

Utilizza la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$e^{\ln (\frac{x}{x^{3}})} = \frac{5}{2}$

Passaggio 1.1.3

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$\frac{x}{x^{3}} = \frac{5}{2}$

Passaggio 1.1.4

Elimina il fattore comune di $x$ e $x^{3}$ .

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Passaggio 1.1.4.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{x^{1}}{x^{3}} = \frac{5}{2}$

Passaggio 1.1.4.2

Scomponi $x$ da $x^{1}$ .

$\frac{x \cdot 1}{x^{3}} = \frac{5}{2}$

Passaggio 1.1.4.3

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.3.1

Scomponi $x$ da $x^{3}$ .

$\frac{x \cdot 1}{x \cdot x^{2}} = \frac{5}{2}$

Passaggio 1.1.4.3.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{x \cdot 1}{x \cdot x^{2}} = \frac{5}{2}$

Passaggio 1.1.4.3.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{x^{2}} = \frac{5}{2}$

Passaggio 1.2

Moltiplica il numeratore della prima frazione per il denominatore della seconda frazione. Imposta questa operazione perché sia uguale al prodotto del denominatore della prima frazione per il numeratore della seconda frazione.

$1 \cdot 2 = x^{2} \cdot 5$

Passaggio 1.3

Risolvi l'equazione per $x$ .

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Passaggio 1.3.1

Riscrivi l'equazione come $x^{2} \cdot 5 = 1 \cdot 2$ .

$x^{2} \cdot 5 = 1 \cdot 2$

Passaggio 1.3.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x^{2} \cdot 5 = 2$

Passaggio 1.3.3

Dividi per $5$ ciascun termine in $x^{2} \cdot 5 = 2$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1

Dividi per $5$ ciascun termine in $x^{2} \cdot 5 = 2$ .

$\frac{x^{2} \cdot 5}{5} = \frac{2}{5}$

Passaggio 1.3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 1.3.3.2.1

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x^{2} \cdot 5}{5} = \frac{2}{5}$

Passaggio 1.3.3.2.1.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} = \frac{2}{5}$

Passaggio 1.3.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{2}{5}}$

Passaggio 1.3.5

Semplifica $\pm \sqrt{\frac{2}{5}}$ .

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Passaggio 1.3.5.1

Riscrivi $\sqrt{\frac{2}{5}}$ come $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$

Passaggio 1.3.5.2

Moltiplica $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$ per $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Passaggio 1.3.5.3

Combina e semplifica il denominatore.

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Passaggio 1.3.5.3.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$ per $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Passaggio 1.3.5.3.2

Eleva $\sqrt{5}$ alla potenza di $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

Passaggio 1.3.5.3.3

Eleva $\sqrt{5}$ alla potenza di $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

Passaggio 1.3.5.3.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Passaggio 1.3.5.3.5

Somma $1$ e $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Passaggio 1.3.5.3.6

Riscrivi ${\sqrt{5}}^{2}$ come $5$ .

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Passaggio 1.3.5.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{5}$ come $5^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 1.3.5.3.6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 1.3.5.3.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 1.3.5.3.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 1.3.5.3.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 1.3.5.3.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{1}}$

Passaggio 1.3.5.3.6.5

Calcola l'esponente.

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5}$

Passaggio 1.3.5.4

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 1.3.5.4.1

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$x = \pm \frac{\sqrt{2 \cdot 5}}{5}$

Passaggio 1.3.5.4.2

Moltiplica $2$ per $5$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{10}}{5}$

Passaggio 1.3.6

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 1.3.6.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = \frac{\sqrt{10}}{5}$

Passaggio 1.3.6.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - \frac{\sqrt{10}}{5}$

Passaggio 1.3.6.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = \frac{\sqrt{10}}{5}, - \frac{\sqrt{10}}{5}$

Passaggio 2

Escludi le soluzioni che non rendono $e^{\ln (x) - 3 \ln (x)} = \frac{5}{2}$ vera.

$x = \frac{\sqrt{10}}{5}$

Passaggio 3

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$x = \frac{\sqrt{10}}{5}$

Forma decimale:

$x = 0.63245553 \dots$