Calcolo Esempi

$\int (x + 1) e^{7 x^{2} + 14 x} d x$

Passaggio 1

Sia $u = 7 x^{2} + 14 x$ . Allora $d u = (14 x + 14) d x$ , quindi $\frac{1}{14} d u = (x + 1) d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = 7 x^{2} + 14 x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $7 x^{2} + 14 x$ .

$\frac{d}{d x} [7 x^{2} + 14 x]$

Passaggio 1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $7 x^{2} + 14 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [14 x]$ .

$\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [14 x]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [7 x^{2}]$ .

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Passaggio 1.1.3.1

Poiché $7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $7 x^{2}$ rispetto a $x$ è $7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$7 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [14 x]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$7 (2 x) + \frac{d}{d x} [14 x]$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $2$ per $7$ .

$14 x + \frac{d}{d x} [14 x]$

Passaggio 1.1.4

Calcola $\frac{d}{d x} [14 x]$ .

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Passaggio 1.1.4.1

Poiché $14$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $14 x$ rispetto a $x$ è $14 \frac{d}{d x} [x]$ .

$14 x + 14 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$14 x + 14 \cdot 1$

Passaggio 1.1.4.3

Moltiplica $14$ per $1$ .

$14 x + 14$

Passaggio 1.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$\int e^{u} \frac{1}{14} d u$

Passaggio 2

$e^{u}$ e $\frac{1}{14}$ .

$\int \frac{e^{u}}{14} d u$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{14}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{14}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{14} \int e^{u} d u$

Passaggio 4

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$\frac{1}{14} (e^{u} + C)$

Passaggio 5

Semplifica.

$\frac{1}{14} e^{u} + C$

Passaggio 6

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $7 x^{2} + 14 x$ .

$\frac{1}{14} e^{7 x^{2} + 14 x} + C$